• 68 Considere o medidor venturi do Problema67 e da Fig. 14-51 sem o manômetro. Suponha que A=5 a e que a pressão p_{1} no ponto A é 2,0 \mathrm{~atm}. Calcule o valor (a) da velocidade V no ponto A e (b) da velocidade v no ponto a para que a pressão p_{2} no ponto
    a seja zero. (c) Calcule a vazão correspondente se o diâmetro no ponto A é 5,0 \mathrm{~cm}. O fenômeno que ocorre em a quando p_{2} cai para perto de zero é conhecido como cavitação; a água evapora para formar pequenas bolhas.

Passo 1

Dados do enunciado e o que se pede:
  • Dados fornecidos:
    • A=5a (área na entrada é cinco vezes a área do bocais).
    • p_{1}=2,0\\ \mathrm{atm} (pressão no ponto A).
    • Queremos o caso em que p_{2}=0 (pressão no ponto a cai para zero).
    • Diâmetro no ponto A: D_{A}=5,0\\ \mathrm{cm}.
    • O fluido é água (situação de cavitação é descrita), então usaremos a massa volumétrica típica \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
    • Despreza-se diferença de cota entre A e a (mesma elevação).
  • O enunciado pede:
    (a) velocidade V no ponto A;
    (b) velocidade v no ponto a quando p_{2}=0;
    (c) vazão volumétrica correspondente Q usando D_{A}=5,0\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Conservação da massa (equação da continuidade) — explicação didática:
  • Em regime permanente, para um fluido incompressível a vazão volumétrica é constante ao longo do tubo. Isso significa que a área multiplicada pela velocidade é a mesma em qualquer seção.
  • Variáveis:
    • A: área na seção ampla (ponto A).
    • a: área na garganta (ponto a).
    • V: velocidade média em A.
    • v: velocidade média em a.
A equação da continuidade é
A V = a v.
Como A=5a, isolando v obtemos
v = \frac{A}{a}\,V = 5\,V.

Passo 3

Conservação de energia (Bernoulli) — explicação didática:
  • Para um fluido ideal sem atrito e entre duas seções na mesma elevação, a equação de Bernoulli (forma simplificada) é
p + \tfrac{1}{2}\rho u^{2} = \text{constante},
onde p é a pressão, \rho a densidade do fluido e u a velocidade na seção considerada.
  • Aplicando entre o ponto A (índice 1) e o ponto a (índice 2) e desprezando termos de altura:
p_{1} + \tfrac{1}{2}\rho V^{2} = p_{2} + \tfrac{1}{2}\rho v^{2}.
  • Substituindo v=5V e isolando a diferença de pressão:
p_{1}-p_{2} = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v^{2}-V^{2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\rho\bigl((5V)^{2}-V^{2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\rho(25V^{2}-V^{2}) = \tfrac{1}{2}\rho(24V^{2})=12\rho V^{2}.
  • Portanto,
V^{2}=\frac{p_{1}-p_{2}}{12\rho}.

Passo 4

Converter a pressão para unidades SI e calcular V (passo-a-passo):
  • Primeiro converter p_{1} para pascal. Usar 1\,\mathrm{atm}=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
p_{1}=2,0\\ \mathrm{atm}=2,0\cdot(1,013\times10^{5})\\ \mathrm{Pa}=2,026\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Como o enunciado pede p_{2}=0, então p_{1}-p_{2}=2,026\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Usar \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}. Substituindo em
V^{2}=\frac{p_{1}-p_{2}}{12\rho}
temos
V^{2}=\frac{2,026\times10^{5}}{12\cdot1000} =\frac{2,026\times10^{5}}{1,2\times10^{4}} =16,883\\ (\mathrm{m^{2}\,s^{-2}})\\ (\text{aprox.}).
  • Tomando a raiz quadrada:
V=\sqrt{16,883}\approx 4,11\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 5

Calcular v a partir de v=5V:
v=5\cdot V = 5\cdot 4,11\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \approx 20,55\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 6

Calcular a vazão Q (explicação e cálculo passo-a-passo):
  • Fórmula: Q = A\,V, onde A é a área da seção no ponto A.
  • Área de um círculo de diâmetro D_{A}=5,0\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}:
A=\pi\left(\frac{D_{A}}{2}\right)^{2} =\pi\left(\frac{0,05}{2}\right)^{2} =\pi(0,025)^{2} =\pi\cdot0,000625 \approx 0,0019635\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Então a vazão:
Q=A\,V\approx 0,0019635\\ \mathrm{m^{2}}\cdot 4,11\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \approx 0,00807\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}.
  • Em unidades mais familiares, Q\approx 8,07\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}} \equiv 8,07\\ \mathrm{L\,s^{-1}}.

Passo 7

Interpretação física curta (ânimo!):
  • Quando p_{2} chega perto de zero (pressão muito baixa), a água pode vaporizar localmente — é a cavitação. O cálculo acima mostra as velocidades e vazão correspondentes ao caso limite hipotético p_{2}=0. Na prática, isso indica que se a velocidade na garganta se aproximar de \sim 20{,}5\\ \mathrm{m\,s^{-1}} ocorrerá cavitação antes de chegar a p_{2}=0, porque a pressão de vapor da água é muito maior que zero absoluto.

Resposta

V\approx 4,11\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
v\approx 20,55\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
Q\approx 8,07\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}

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