Um bloco de madeira tem uma massa de 3,67 \mathrm{~kg} e uma massa específica de 600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Ele deve ser carregado de chumbo \left(1,14 \times 10^{4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right) para flutuar na água com 0,900 de seu volume submerso. Que massa de chumbo é necessária se o chumbo for colocado
no alto do bloco

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos):
  • massa do bloco de madeira: m_{\rm b}=3,67\\ \mathrm{kg}.
  • massa específica (densidade) da madeira: \rho_{\rm b}=600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • massa específica (densidade) do chumbo: \rho_{\rm Pb}=1,14\times10^{4}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • deseja-se que o bloco flutue na água com 0,900 de seu volume submerso (ou seja, fração submersa do bloco =0,900).
  • água: densidade padrão \rho_{\rm H_2O}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (assumo esse valor se não foi dado).
O que o problema pede:
  • determinar a massa de chumbo m_{\rm Pb} necessária quando o chumbo for colocado no alto (sobre) do bloco, de modo que a fração submersa do bloco seja 0,900.

Passo 2

Primeiro vamos achar o volume do bloco de madeira. A relação entre massa m, densidade \rho e volume V é:
V=\frac{m}{\rho},
onde V é o volume em \mathrm{m}^3, m em \mathrm{kg} e \rho em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Aplicando ao bloco:
V_{\rm b}=\frac{m_{\rm b}}{\rho_{\rm b}}=\frac{3,67}{600}.
Fazendo a divisão:
V_{\rm b}=0,006116666\ldots\\ \mathrm{m}^{3}\approx0,0061167\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 3

Agora a física do flutuamento — Princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo F_{\rm emp} sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado:
F_{\rm emp}=\rho_{\rm fluido}\,g\,V_{\rm deslocado},
onde \rho_{\rm fluido} é a densidade do fluido (aqui água), g é a aceleração da gravidade e V_{\rm deslocado} é o volume de fluido deslocado.
Em equilíbrio de flutuação (flutuação estática), o empuxo equilibra o peso total do sistema (bloco + chumbo):
\rho_{\rm H_2O}\,g\,V_{\rm deslocado}=(m_{\rm b}+m_{\rm Pb})\,g.
Cancelando g dos dois lados obtemos a forma prática:
m_{\rm b}+m_{\rm Pb}=\rho_{\rm H_2O}\,V_{\rm deslocado}.
Aqui devemos avaliar qual é V_{\rm deslocado}. O enunciado pede que 0,900 do volume do bloco esteja submerso; portanto o volume de água deslocado é exatamente o volume submerso do bloco (assumindo que o chumbo fica em cima do bloco e não tem parte significativa de volume submerso separado). Assim,
V_{\rm deslocado}=0,900\,V_{\rm b}.
(Observação didática: isso é válido porque a fração submersa pedida refere-se explicitamente ao volume do bloco. Como 0,900<1, o bloco não fica totalmente submerso, e o chumbo simplesmente aumenta o peso que o empuxo deve suportar. Se o chumbo fizesse com que o bloco precisasse submergir mais do que o volume do bloco, então o conjunto afundaria; aqui isso não acontece.)
Substituindo em m_{\rm b}+m_{\rm Pb}=\rho_{\rm H_2O}\,V_{\rm deslocado} obtemos a fórmula para a massa de chumbo:
m_{\rm Pb}=\rho_{\rm H_2O}\,(0,900\,V_{\rm b})-m_{\rm b}.

Passo 4

Agora substituímos os números passo a passo.
Primeiro calculemos \rho_{\rm H_2O}\,(0,900\,V_{\rm b}):
\rho_{\rm H_2O}\,(0,900\,V_{\rm b})=1000\cdot0,900\cdot0,0061167.
Calcule 1000\cdot0,0061167=6,1167. Então
1000\cdot0,900\cdot0,0061167=0,900\cdot6,1167=5,50503\\ \mathrm{kg}\approx5,505\\ \mathrm{kg}.
Agora a massa de chumbo:
m_{\rm Pb}=5,50503-3,67=1,83503\\ \mathrm{kg}.
Arredondando de forma coerente com os dados (três algarismos significativos no dado 3,67), fica
m_{\rm Pb}\approx1,84\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Comentário e verificação final (didática e de plausibilidade):
  • Sem chumbo, a fração submersa do bloco seria \rho_{\rm b}/\rho_{\rm H_2O}=600/1000=0,600 (ou seja, 60\% do volume submerso). Com o chumbo acrescentado passamos para 90\%.
  • Usamos a densidade do chumbo \rho_{\rm Pb} só se quisermos calcular o volume do pedaço de chumbo (por plausibilidade). Vamos calcular esse volume rápido:
V_{\rm Pb}=\frac{m_{\rm Pb}}{\rho_{\rm Pb}}=\frac{1,83503}{1,14\times10^{4}}\approx1,61\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}.
Esse volume é pequeno em relação ao volume do bloco ( V_{\rm Pb}/V_{\rm b}\approx0,026, ou seja, cerca de 2{,}6\% do volume do bloco), então é razoável que o chumbo possa ser colocado “no alto do bloco” sem ocupar muito espaço volumétrico. Isso não altera a conta principal, porque a flotação é determinada pelo volume de água deslocado (aqui dado pelo bloco submerso).
Força extra: está indo bem — essa é a aplicação direta do princípio de Arquimedes. Se quiser, posso calcular quanto o topo do bloco (altura exposta) fica acima da água assumindo forma do bloco (por ex. cubo) — para isso preciso da área da face superior; se quiser eu calculo.

Resposta

1,84\\ \mathrm{kg}

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