Um bloco de madeira tem uma massa de
e uma massa específica de
. Ele deve ser carregado de chumbo
para flutuar na água com 0,900 de seu volume submerso. Que massa de chumbo é necessária se o chumbo for colocado
no alto do bloco
no alto do bloco
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos):
- massa do bloco de madeira:
. - massa específica (densidade) da madeira:
. - massa específica (densidade) do chumbo:
. - deseja-se que o bloco flutue na água com
de seu volume submerso (ou seja, fração submersa do bloco ). - água: densidade padrão
(assumo esse valor se não foi dado).
O que o problema pede:
- determinar a massa de chumbo
necessária quando o chumbo for colocado no alto (sobre) do bloco, de modo que a fração submersa do bloco seja .
Passo 2
Primeiro vamos achar o volume do bloco de madeira. A relação entre massa
, densidade
e volume
é:
onde
é o volume em
,
em
e
em
.
Aplicando ao bloco:
Fazendo a divisão:
Passo 3
Agora a física do flutuamento — Princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo
sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado:
onde
é a densidade do fluido (aqui água),
é a aceleração da gravidade e
é o volume de fluido deslocado.
Em equilíbrio de flutuação (flutuação estática), o empuxo equilibra o peso total do sistema (bloco + chumbo):
Cancelando
dos dois lados obtemos a forma prática:
Aqui devemos avaliar qual é
. O enunciado pede que
do volume do bloco esteja submerso; portanto o volume de água deslocado é exatamente o volume submerso do bloco (assumindo que o chumbo fica em cima do bloco e não tem parte significativa de volume submerso separado). Assim,
(Observação didática: isso é válido porque a fração submersa pedida refere-se explicitamente ao volume do bloco. Como
, o bloco não fica totalmente submerso, e o chumbo simplesmente aumenta o peso que o empuxo deve suportar. Se o chumbo fizesse com que o bloco precisasse submergir mais do que o volume do bloco, então o conjunto afundaria; aqui isso não acontece.)
Substituindo em
obtemos a fórmula para a massa de chumbo:
Passo 4
Agora substituímos os números passo a passo.
Primeiro calculemos
:
Calcule
. Então
Agora a massa de chumbo:
Arredondando de forma coerente com os dados (três algarismos significativos no dado
), fica
Passo 5
Comentário e verificação final (didática e de plausibilidade):
- Sem chumbo, a fração submersa do bloco seria
(ou seja, do volume submerso). Com o chumbo acrescentado passamos para . - Usamos a densidade do chumbo
só se quisermos calcular o volume do pedaço de chumbo (por plausibilidade). Vamos calcular esse volume rápido:
Esse volume é pequeno em relação ao volume do bloco (
, ou seja, cerca de
do volume do bloco), então é razoável que o chumbo possa ser colocado “no alto do bloco” sem ocupar muito espaço volumétrico. Isso não altera a conta principal, porque a flotação é determinada pelo volume de água deslocado (aqui dado pelo bloco submerso).
Força extra: está indo bem — essa é a aplicação direta do princípio de Arquimedes. Se quiser, posso calcular quanto o topo do bloco (altura exposta) fica acima da água assumindo forma do bloco (por ex. cubo) — para isso preciso da área da face superior; se quiser eu calculo.