Considerando uma função
, mostre que uma variação infinitesimal na função é dada por
Generalize o resultado para uma função de
variáveis tal que
.
Mostre que o operador gradiente
Aponta para o sentido em que a função varia mais rapidamente.
Mostre que o operador gradiente
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Mostrar que, para uma função
, uma variação infinitesimal é
- Generalizar esse resultado para uma função de
variáveis . - Mostrar que o operador gradiente
aponta para o sentido em que a função varia mais rapidamente.
Informações dadas pelo enunciado: existe uma função
dependente de variáveis independentes (no primeiro caso duas, depois
), e queremos relacionar variações pequenas nas variáveis com a variação correspondente em
, além de interpretar geometricamente o gradiente.
Passo 2
Definição e intuição da derivada parcial (ferramenta básica).
- A derivada parcial de
em relação a em um ponto é a taxa de variação de quando varíamos mantendo fixo. Formalmente,
se esse limite existir. Analogamente,
- Intuição:
é a inclinação de quando andamos ao longo da direção ; é a inclinação quando andamos ao longo da direção .
Passo 3
Derivação do diferencial total para duas variáveis usando uma função auxiliar (método prático e didático).
- Considere um deslocamento pequeno
a partir do ponto . Defina a função de uma variável
para
real. A ideia é seguir o ponto
ao longo da reta que leva a
.
- Pela regra da cadeia (aplicada a
), a derivada de em qualquer é
- Agora use a expansão de Taylor de primeira ordem para
em torno de :
Escrevendo
e
, e lembrando que
é a expressão anterior avaliada em
, obtemos, desprezando termos de ordem superior (que são pequenos em comparação com
),
- A diferença à esquerda é a variação real
com deslocamentos finitos; no limite infinitesimal, a aproximação torna-se igualdade diferencial. Portanto definimos o diferencial total (variação infinitesimal) por
Passo 4
Interpretação do diferencial e condições de validade.
- O diferencial
é a melhor aproximação linear de para pequenos . Em linguagem matemática, isto exige que seja diferenciável no ponto considerado. - Em provas, é comum justificar a igualdade citando que os termos de ordem superior em
podem ser desprezados quando tomamos a ordem infinitesimal. A expressão resultante é prática e aparece em muitos problemas (linéarização, aproximações, mudança de variáveis em integrais, etc.).
Passo 5
Generalização para
variáveis (mesma ideia, escrito de forma compacta).
- Seja
. Considere deslocamentos infinitesimais e defina a função auxiliar unidimensional
- Aplicando a regra da cadeia e a expansão de primeira ordem em
como antes, obtém-se
- Forma vetorial compacta: se denotarmos o vetor deslocamento por
e o gradiente por
então
Passo 6
Definição explícita do gradiente em duas variáveis e relação com o diferencial.
- Em duas variáveis, escrevemos o gradiente como vetor
- A relação com o diferencial fica clara: se
, então
Isto mostra que o gradiente contém as componentes das taxas parciais e atua como o coeficiente linear que transforma um deslocamento em variação de
.
Passo 7
Direcional derivative (derivada direcional) e prova de que o gradiente aponta para o máximo crescimento.
- Definição: a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário é
- Usando a regra da cadeia (ou a construção
como antes), obtemos
- Agora maximizar
sobre todos os vetores unitários . Escrevendo o produto escalar em termos de magnitude e ângulo,
onde
é o ângulo entre
e
e
.
- O valor de
é máximo quando , ou seja, quando tem a mesma direção de . Assim a derivada direcional é máxima quando é paralelo a , e o valor máximo é
- Conclusão: o vetor
aponta para a direção de crescimento mais rápido de , e seu módulo é a taxa máxima de aumento por unidade de comprimento nessa direção.
Passo 8
Exemplo simples e observação sobre curvas de nível (intuição geométrica).
- Exemplo: para
, calcula-se
No ponto
o gradiente aponta radialmente para fora (na direção
), que é exatamente a direção em que
aumenta mais rápido. O módulo
dá a taxa máxima de crescimento por unidade de deslocamento.
- Observação sobre curvas de nível: curvas de nível (ou superfícies de nível) são conjuntos onde
é constante. O gradiente em um ponto é ortogonal a essas curvas (ou superfícies) naquele ponto, porque qualquer deslocamento tangente à curva de nível não muda , logo a derivada direcional nessa direção é zero; portanto o produto escalar com deve ser zero.
Passo 9
Resumo final do raciocínio (motivação prática para a prova).
- Para mostrar a fórmula diferencial usa-se uma variação ao longo de uma reta no espaço das variáveis e a regra da cadeia; o resultado é a melhor aproximação linear de
. - Para mostrar que o gradiente aponta para a máxima taxa de crescimento, expressa-se a derivada direcional como produto escalar com o gradiente e usa-se a desigualdade do cosseno (máximo de
).