Considerando uma função f(x, y), mostre que uma variação infinitesimal na função é dada por
\mathrm{d} f=\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{~d} y
Generalize o resultado para uma função de N variáveis tal que f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right).
Mostre que o operador gradiente
\vec{\nabla} f=\frac{\partial f}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y} \hat{j}
Aponta para o sentido em que a função varia mais rapidamente.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Mostrar que, para uma função f(x,y), uma variação infinitesimal é
\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y.
  • Generalizar esse resultado para uma função de N variáveis f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{N}).
  • Mostrar que o operador gradiente
\vec{\nabla}f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\hat{j}
aponta para o sentido em que a função varia mais rapidamente.
Informações dadas pelo enunciado: existe uma função f dependente de variáveis independentes (no primeiro caso duas, depois N), e queremos relacionar variações pequenas nas variáveis com a variação correspondente em f, além de interpretar geometricamente o gradiente.

Passo 2

Definição e intuição da derivada parcial (ferramenta básica).
  • A derivada parcial de f em relação a x em um ponto (x,y) é a taxa de variação de f quando varíamos x mantendo y fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
se esse limite existir. Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
  • Intuição: \frac{\partial f}{\partial x} é a inclinação de f quando andamos ao longo da direção x; \frac{\partial f}{\partial y} é a inclinação quando andamos ao longo da direção y.

Passo 3

Derivação do diferencial total para duas variáveis usando uma função auxiliar (método prático e didático).
  • Considere um deslocamento pequeno (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y) a partir do ponto (x,y). Defina a função de uma variável
g(t)=f\bigl(x+t\,\mathrm{d}x,\;y+t\,\mathrm{d}y\bigr),
para t real. A ideia é seguir o ponto (x,y) ao longo da reta que leva a (x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y).
  • Pela regra da cadeia (aplicada a g), a derivada de g em qualquer t é
g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x+t\,\mathrm{d}x,\;y+t\,\mathrm{d}y\bigr)\cdot\mathrm{d}x +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x+t\,\mathrm{d}x,\;y+t\,\mathrm{d}y\bigr)\cdot\mathrm{d}y.
  • Agora use a expansão de Taylor de primeira ordem para g em torno de t=0:
g(1)=g(0)+g'(0)\cdot 1 +\text{termos de ordem superior}.
Escrevendo g(1)=f(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y) e g(0)=f(x,y), e lembrando que g'(0) é a expressão anterior avaliada em t=0, obtemos, desprezando termos de ordem superior (que são pequenos em comparação com \mathrm{d}x,\mathrm{d}y),
f(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y)-f(x,y)\approx \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,\mathrm{d}x +\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,\mathrm{d}y.
  • A diferença à esquerda é a variação real \Delta f com deslocamentos finitos; no limite infinitesimal, a aproximação torna-se igualdade diferencial. Portanto definimos o diferencial total (variação infinitesimal) por
\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Interpretação do diferencial e condições de validade.
  • O diferencial \mathrm{d}f é a melhor aproximação linear de \Delta f=f(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y)-f(x,y) para pequenos \mathrm{d}x,\mathrm{d}y. Em linguagem matemática, isto exige que f seja diferenciável no ponto considerado.
  • Em provas, é comum justificar a igualdade citando que os termos de ordem superior em \mathrm{d}x,\mathrm{d}y podem ser desprezados quando tomamos a ordem infinitesimal. A expressão resultante é prática e aparece em muitos problemas (linéarização, aproximações, mudança de variáveis em integrais, etc.).

Passo 5

Generalização para N variáveis (mesma ideia, escrito de forma compacta).
  • Seja f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{N}). Considere deslocamentos infinitesimais \mathrm{d}x_{1},\mathrm{d}x_{2},\ldots,\mathrm{d}x_{N} e defina a função auxiliar unidimensional
g(t)=f\bigl(x_{1}+t\,\mathrm{d}x_{1},\;x_{2}+t\,\mathrm{d}x_{2},\;\ldots,\;x_{N}+t\,\mathrm{d}x_{N}\bigr).
  • Aplicando a regra da cadeia e a expansão de primeira ordem em t como antes, obtém-se
\mathrm{d}f=\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\,\mathrm{d}x_{i}.
  • Forma vetorial compacta: se denotarmos o vetor deslocamento por \mathrm{d}\vec{r}=(\mathrm{d}x_{1},\ldots,\mathrm{d}x_{N}) e o gradiente por
\vec{\nabla}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\frac{\partial f}{\partial x_{2}},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_{N}}\right),
então
\mathrm{d}f=\vec{\nabla}f\cdot\mathrm{d}\vec{r}.

Passo 6

Definição explícita do gradiente em duas variáveis e relação com o diferencial.
  • Em duas variáveis, escrevemos o gradiente como vetor
\vec{\nabla}f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\hat{j}.
  • A relação com o diferencial fica clara: se \mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}x\,\hat{i}+\mathrm{d}y\,\hat{j}, então
\mathrm{d}f=\vec{\nabla}f\cdot\mathrm{d}\vec{r}.
Isto mostra que o gradiente contém as componentes das taxas parciais e atua como o coeficiente linear que transforma um deslocamento em variação de f.

Passo 7

Direcional derivative (derivada direcional) e prova de que o gradiente aponta para o máximo crescimento.
  • Definição: a derivada direcional de f no ponto \vec{r} na direção do vetor unitário \hat{u} é
D_{\hat{u}}f(\vec{r})=\lim_{h\to 0}\frac{f(\vec{r}+h\hat{u})-f(\vec{r})}{h}.
  • Usando a regra da cadeia (ou a construção g(t)=f(\vec{r}+t\hat{u}) como antes), obtemos
D_{\hat{u}}f(\vec{r})=\vec{\nabla}f(\vec{r})\cdot\hat{u}.
  • Agora maximizar D_{\hat{u}}f sobre todos os vetores unitários \hat{u}. Escrevendo o produto escalar em termos de magnitude e ângulo,
\vec{\nabla}f\cdot\hat{u}=|\vec{\nabla}f|\,|\hat{u}|\,\cos\theta=|\vec{\nabla}f|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{\nabla}f e \hat{u} e |\hat{u}|=1.
  • O valor de \cos\theta é máximo quando \theta=0, ou seja, quando \hat{u} tem a mesma direção de \vec{\nabla}f. Assim a derivada direcional é máxima quando \hat{u} é paralelo a \vec{\nabla}f, e o valor máximo é
\max_{|\hat{u}|=1}D_{\hat{u}}f=|\vec{\nabla}f|.
  • Conclusão: o vetor \vec{\nabla}f aponta para a direção de crescimento mais rápido de f, e seu módulo |\vec{\nabla}f| é a taxa máxima de aumento por unidade de comprimento nessa direção.

Passo 8

Exemplo simples e observação sobre curvas de nível (intuição geométrica).
  • Exemplo: para f(x,y)=x^{2}+y^{2}, calcula-se
\vec{\nabla}f=(2x)\,\hat{i}+(2y)\,\hat{j}.
No ponto (x,y) o gradiente aponta radialmente para fora (na direção (x,y)), que é exatamente a direção em que x^{2}+y^{2} aumenta mais rápido. O módulo |\vec{\nabla}f|=2\sqrt{x^{2}+y^{2}} dá a taxa máxima de crescimento por unidade de deslocamento.
  • Observação sobre curvas de nível: curvas de nível (ou superfícies de nível) são conjuntos onde f é constante. O gradiente em um ponto é ortogonal a essas curvas (ou superfícies) naquele ponto, porque qualquer deslocamento tangente à curva de nível não muda f, logo a derivada direcional nessa direção é zero; portanto o produto escalar com \vec{\nabla}f deve ser zero.

Passo 9

Resumo final do raciocínio (motivação prática para a prova).
  • Para mostrar a fórmula diferencial usa-se uma variação ao longo de uma reta no espaço das variáveis e a regra da cadeia; o resultado é a melhor aproximação linear de f.
  • Para mostrar que o gradiente aponta para a máxima taxa de crescimento, expressa-se a derivada direcional como produto escalar com o gradiente e usa-se a desigualdade do cosseno (máximo de \cos).

Resposta

\mathrm{d}f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y
\mathrm{d}f=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\,\mathrm{d}x_{i}
\vec{\nabla}f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\,\hat{i}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\,\hat{j} aponta na direção de variação mais rápida de f; a derivada direcional máxima é |\vec{\nabla}f| e ocorre quando a direção é paralela a \vec{\nabla}f.

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