68 Seja A X=B(B \neq 0) um sistema compatível, isto é, seja possível. Mostre que se X_{p} é uma solução particular para o sistema não-homogêneo A X=B e X_{h} é uma solução para o sistema homogêneo associado A X=0, então X=X_{p}+X_{h} é solução do sistema linear A X=B.
69 Um caixa contendo moedas de 1,5 e 10 centavos contém 13 moedas com um valor total de 83 centavos. Quantas moedas de cada tipo há na caixa ?

Passo 1

O enunciado 68 pede para mostrarmos que, num sistema linear não-homogêneo A X = B (com B\neq0), se X_{p} satisfaz A X_{p}=B e X_{h} satisfaz o homogêneo associado A X_{h}=0, então a soma
X = X_{p} + X_{h}
também é solução de A X = B. O conteúdo aqui é a propriedade de linearidade de uma transformação matricial.

Passo 2

Aplicamos A à soma X_{p}+X_{h}. Pela linearidade de A (i.e., A(U+V)=AU+AV para quaisquer vetores U,V), temos
A\bigl(X_{p}+X_{h}\bigr) = A X_{p} + A X_{h} = B + 0 = B.
Logo, X=X_{p}+X_{h} satisfaz A X=B, provando o que se pedia.

Passo 3

O enunciado 69 é um problema de sistema diofantino: numa caixa há moedas de 1, 5 e 10 centavos, total de 13 moedas e soma de 83 centavos. Precisamos achar números inteiros não-negativos x,y,z tais que o número de moedas e o valor satisfaçam dois sistemas lineares.

Passo 4

Definimos
x = \text{nº de moedas de 1 centavo},\quad y = \text{nº de moedas de 5 centavos},\quad z = \text{nº de moedas de 10 centavos}.ººº
As equações são
x + y + z = 13
x + 5y + 10z = 83.

Passo 5

Subtraímos a primeira da segunda para eliminar x:
(x + 5y + 10z) - (x + y + z) = 83 - 13
4y + 9z = 70.
Isso reduz o problema a achar inteiros y,z\ge0 que satisfaçam 4y+9z=70.

Passo 6

Buscamos z que torne 4y=70-9z múltiplo de 4. Como 9z\equiv z\pmod4, precisamos de
70 - z \equiv 0 \pmod4 \quad\Longrightarrow\quad z\equiv2\pmod4.
Testamos valores não-negativos z=2,6,10,\dots:
  • Se z=2, então 4y=70-18=52\implies y=13, mas aí x=13-13-2=-2 (inválido).
  • Se z=6, então 4y=70-54=16\implies y=4, e x=13-4-6=3 (válido).
  • Se z=10, então 4y=70-90=-20 (inválido).
    Logo a única solução inteira não-negativa é x=3, y=4, z=6.

Passo 7

Concluímos que:
  • No problema 68, de fato X_{p}+X_{h} é solução de A X=B.
  • No problema 69, há 3 moedas de 1 centavo, 4 de 5 centavos e 6 de 10 centavos.

Resposta

(68) Se A X_{p}=B e A X_{h}=0, então
A(X_{p}+X_{h})=A X_{p}+A X_{h}=B+0=B,
logo X=X_{p}+X_{h} é solução de A X=B.
(69) x=3 (moedas de 1 c), y=4 (moedas de 5 c), z=6 (moedas de 10 c).

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