68 Seja
um sistema compatível, isto é, seja possível. Mostre que se
é uma solução particular para o sistema não-homogêneo
e
é uma solução para o sistema homogêneo associado
, então
é solução do sistema linear
.
69 Um caixa contendo moedas de 1,5 e 10 centavos contém 13 moedas com um valor total de 83 centavos. Quantas moedas de cada tipo há na caixa ?
Passo 1
O enunciado 68 pede para mostrarmos que, num sistema linear não-homogêneo
(com
), se
satisfaz
e
satisfaz o homogêneo associado
, então a soma
também é solução de
. O conteúdo aqui é a propriedade de linearidade de uma transformação matricial.
Passo 2
Aplicamos
à soma
. Pela linearidade de
(i.e.,
para quaisquer vetores
), temos
Logo,
satisfaz
, provando o que se pedia.
Passo 3
O enunciado 69 é um problema de sistema diofantino: numa caixa há moedas de 1, 5 e 10 centavos, total de 13 moedas e soma de 83 centavos. Precisamos achar números inteiros não-negativos
tais que o número de moedas e o valor satisfaçam dois sistemas lineares.
Passo 4
Definimos
As equações são
Passo 5
Subtraímos a primeira da segunda para eliminar
:
Isso reduz o problema a achar inteiros
que satisfaçam
.
Passo 6
Buscamos
que torne
múltiplo de 4. Como
, precisamos de
Testamos valores não-negativos
:
- Se
, então , mas aí (inválido). - Se
, então , e (válido). - Se
, então (inválido).
Logo a única solução inteira não-negativa é, , .
Passo 7
Concluímos que:
- No problema 68, de fato
é solução de . - No problema 69, há
moedas de centavo, de centavos e de centavos.
Resposta
(68) Se
e
, então
logo
é solução de
.
(69) (moedas de 1 c),
(moedas de 5 c),
(moedas de 10 c).
(69)