Sabendo que o det \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\\\ 1 & 3 & 9 \\\\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]=12, calcule os seguintes determinantes:
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}10 & 20 & 40 \\\\ 1 & 3 & 9 \\\\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\\\ 1 & 3 & 9 \\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
e informa que \det A = 12. Pede-se o determinante da matriz
B = \begin{pmatrix} 10 & 20 & 40 \\\\ 1 & 3 & 9 \\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é a propriedade de determinantes que diz que multiplicar uma linha (ou coluna) por um escalar k faz o determinante ser multiplicado por k.

Passo 2

Note que a primeira linha de B é exatamente 10 vezes a primeira linha de A, enquanto as outras duas linhas permanecem iguais. Logo, pela propriedade
\det B = 10 \times \det A = 10 \times 12 = 120.

Resposta

\,120

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