Recorra à Regra de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes
\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 4 & 3 \\\\ 1 & 1 & 3 & 3 \\\\ 0 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 2 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 3\\\\ 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 0 & 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}
usando a Regra de Laplace (expansão por cofatores). O conteúdo aqui é o cálculo de determinante de matriz 4\times4 via expansão ao longo de uma linha ou coluna que tenha zeros para simplificar.

Passo 2

Escolhemos expandir ao longo da primeira coluna, pois os dois últimos elementos são zero.
Pela Regra de Laplace,
\det(A) \;=\;\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+1}\,a_{i1}\,\det(M_{i1}),
onde a_{i1} são os elementos da primeira coluna e M_{i1} são os menores correspondentes.

Passo 3

Como a_{31}=0 e a_{41}=0, restam apenas os termos i=1 e i=2:
\det(A) =(-1)^{1+1}\,a_{11}\,\det(M_{11}) +(-1)^{2+1}\,a_{21}\,\det(M_{21}) =1\cdot\det(M_{11})-1\cdot\det(M_{21}).

Passo 4

O menor M_{11} remove a primeira linha e a primeira coluna:
M_{11} =\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\\\ 3 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Calculando seu determinante por expansão na primeira linha:
\det(M_{11}) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&0\\\ 2&2\end{pmatrix} -3\cdot\det\!\begin{pmatrix}3&0\\\ 2&2\end{pmatrix} +3\cdot\det\!\begin{pmatrix}3&0\\\ 2&2\end{pmatrix} =1\cdot(0)-3\cdot(6)+3\cdot(6)=0.

Passo 5

Logo \det(M_{11})=0 e
\det(A)=0-\det(M_{21})=-\det(M_{21}).

Passo 6

O menor M_{21} remove a segunda linha e a primeira coluna de A:
M_{21} =\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3\\\\ 3 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Expando ao longo da segunda linha (apenas o primeiro elemento é não nulo):
\det(M_{21}) =(-1)^{2+1}\,3\, \det\!\begin{pmatrix}4&3\\\ 2&2\end{pmatrix} =-3\,(4\cdot2-3\cdot2)=-3\cdot2=-6.

Passo 7

Portanto
\det(A)=-\det(M_{21})=-(-6)=6.

Resposta

6

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