68 Dois estudantes de engenharia, João, com uma massa de 90 kg , e Maria, com uma massa de 45 kg , estão a 30 m de distância um do outro. Suponha que existam desequilíbrios de carga de 0,01 \% nos corpos dos dois estudantes, com um deles positivo e o outro negativo. Determine a ordem de grandeza da força de atração eletrostática entre os dois estudantes substituindo-os por esferas de água com a mesma massa.

Passo 1

O enunciado pede a ordem de grandeza da força de atração eletrostática entre João e Maria quando:
  • João tem massa 90\\ \mathrm{kg}.
  • Maria tem massa 45\\ \mathrm{kg}.
  • A distância entre eles é 30\\ \mathrm{m}.
  • Existem desequilíbrios de carga de 0,01\% nos corpos de ambos, com sinais opostos (um positivo e o outro negativo).
  • Devemos substituir cada estudante por uma esfera de água com a mesma massa.
Informações e constantes que vamos usar (valores numéricos padrão):
  • Massa molar da água: M_{\mathrm{H_2O}}=18\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
  • Número de Avogadro: N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Número de elétrons por molécula de \mathrm{H_2O}: 10.
  • Carga do elétron: e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Constante eletrostática (lei de Coulomb): k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}\cdot C^{-2}}.
  • Densidade da água (para obter o raio das esferas, se necessário): \rho=1000\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
Observação: interpreto o desequilíbrio de 0{,}01\% como uma fração 0{,}0001 do número total de elétrons do corpo (ou seja, 0{,}01\% do número de elétrons totais é o excesso/de falta que gera a carga líquida). Isso é uma suposição natural para estimativas desse tipo; vou explicitar e aplicar essa interpretação nos cálculos.

Passo 2

Como vamos substituir cada pessoa por uma esfera de água, o primeiro objetivo é estimar a carga líquida de cada esfera a partir do desequilíbrio percentual de elétrons.
Passos para obter a carga líquida Q de uma esfera com massa m:
  1. Calcular o número de mols de água: \dfrac{m}{M_{\mathrm{H_2O}}}.
  2. Converter para número de moléculas: multiplicar por N_A.
  3. Calcular o número total de elétrons: multiplicar o número de moléculas por 10.
  4. O desequilíbrio de 0{,}01\% significa que a fração de elétrons em excesso (ou em falta) é f=0{,}0001. Então o número de elétrons em excesso é N_{\text{ex}}=f\cdot N_{\text{elétrons tot}}é.
  5. A carga líquida é Q = N_{\text{ex}}\cdot e.
Vou aplicar isso a João ( m_1=90\\ \mathrm{kg}) e a Maria ( m_2=45\\ \mathrm{kg}).

Passo 3

Cálculo para João ( m_1=90\\ \mathrm{kg}):
Número de mols:
n_1=\frac{m_1}{M_{\mathrm{H_2O}}}=\frac{90}{18\times10^{-3}}=5000\\ \text{mol}.
Número de moléculas:
N_{\text{moléculas},1}=n_1\cdot N_A = 5000\cdot 6{,}022\times10^{23}=3{,}011\times10^{27}.é
Número total de elétrons:
N_{e,1}=10\cdot N_{\text{moléculas},1}=10\cdot 3{,}011\times10^{27}=3{,}011\times10^{28}.é
Número de elétrons em excesso (com f=0{,}0001):
N_{\text{ex},1}=f\cdot N_{e,1}=0{,}0001\cdot 3{,}011\times10^{28}=3{,}011\times10^{24}.
Carga líquida de João:
Q_1 = N_{\text{ex},1}\cdot e = 3{,}011\times10^{24}\cdot 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} =4{,}82\times10^{5}\\ \mathrm{C}.
(Arredondei a três algarismos significativos: Q_1\approx4{,}82\times10^{5}\\ \mathrm{C}.)

Passo 4

Cálculo para Maria ( m_2=45\\ \mathrm{kg}). Como a massa é a metade da de João, muitos valores serão a metade:
Número de mols:
n_2=\frac{m_2}{M_{\mathrm{H_2O}}}=\frac{45}{18\times10^{-3}}=2500\\ \text{mol}.
Número de moléculas:
N_{\text{moléculas},2}=2500\cdot 6{,}022\times10^{23}=1{,}5055\times10^{27}.é
Número total de elétrons:
N_{e,2}=10\cdot N_{\text{moléculas},2}=1{,}5055\times10^{28}.é
Elétrons em excesso:
N_{\text{ex},2}=0{,}0001\cdot 1{,}5055\times10^{28}=1{,}5055\times10^{24}.
Carga líquida de Maria:
Q_2 = N_{\text{ex},2}\cdot e = 1{,}5055\times10^{24}\cdot 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} =2{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{C}.
(Arredondei: Q_2\approx2{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{C}. Observe que Q_2 é aproximadamente metade de Q_1, como esperado.)

Passo 5

Verificação do tamanho das esferas (para confirmar que usar a distância 30\\ \mathrm{m} entre centros é apropriado):
Volume da esfera de massa m: V=m/\rho.
  • Para João: V_1=90/1000=0{,}09\\ \mathrm{m^{3}}.
    Raio R_1=\left(\dfrac{3V_1}{4\pi}\right)^{1/3}=\left(\dfrac{3\cdot0{,}09}{4\pi}\right)^{1/3}\approx0{,}28\\ \mathrm{m}.
  • Para Maria: V_2=45/1000=0{,}045\\ \mathrm{m^{3}}.
    Raio R_2=\left(\dfrac{3\cdot0{,}045}{4\pi}\right)^{1/3}\approx0{,}22\\ \mathrm{m}.
Os raios são da ordem de décimos de metro, muito menores que 30\\ \mathrm{m}; portanto a aproximação de que a distância entre centros é 30\\ \mathrm{m} é perfeitamente válida.

Passo 6

Agora aplicamos a lei de Coulomb para calcular a força de atração:
Lei de Coulomb (módulo):
F = k\,\frac{|Q_1 Q_2|}{r^{2}},
onde k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}\cdot C^{-2}}, Q_1 e Q_2 são as cargas líquidas em coulombs, e r=30\\ \mathrm{m}.
Substituindo os valores:
Q_1\approx 4{,}82\times10^{5}\\ \mathrm{C},\qquad Q_2\approx 2{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{C},\qquad r=30\\ \mathrm{m}.
Produto das cargas:
Q_1Q_2 \approx (4{,}82\times10^{5})(2{,}41\times10^{5})=1{,}1635\times10^{11}\\ \mathrm{C^{2}}.
Agora a força:
F = 8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{1{,}1635\times10^{11}}{30^{2}} =8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{1{,}1635\times10^{11}}{900}.
Calcule passo a passo:
8{,}99\times10^{9}\cdot 1{,}1635\times10^{11}=1{,}0464\times10^{21},
\frac{1{,}0464\times10^{21}}{900}=1{,}1627\times10^{18}\\ \mathrm{N}.
Portanto:
F\approx 1{,}16\times10^{18}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Interpretação final e comentário didático rápido:
  • A força encontrada é imensa ( \sim10^{18}\\ \mathrm{N}). Para ter ideia, essa força seria muito maior do que forças cotidianas (ordem das forças necessária para deslocar a Lua etc.). Isso indica que um desequilíbrio de carga de 0{,}01\% do total de elétrons de um corpo maciço representa uma carga elétrica gigantesca; na realidade corpos macroscópicos são extremamente próximos da neutralidade, muito mais do que 0{,}01\%.
  • A ordem de grandeza pedida é 10^{18}\\ \mathrm{N}.
Força calculada (valor numérico aproximado): F\approx 1{,}16\times10^{18}\\ \mathrm{N}.

Resposta

\displaystyle F\approx 1{,}16\times10^{18}\\ \mathrm{N} (ordem de grandeza: 10^{18}\\ \mathrm{N})

Exercícios relacionados