(6,8 pts) Em um experimento, 200 g de água a 100,0{ }^{\circ} \mathrm{C} são misturados com 100 g de água a 20,0^{\circ} \mathrm{C}, com a mistura isolada termicamente do ambiente. (a) Qual é a temperatura de equilibrio? (b) Qual é a variação de entropia do sistema? (c) Como o resultado da parte “b” pode ser interpretado, tendo em conta a 2^{\circ} Lei da Termodinâmica? Considere o calor específico da água como 4,18 \mathrm{~J} /(\mathrm{g} . \mathrm{K}).

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede, ponto a ponto (tudo que vem do enunciado está aqui).
  • Massas e temperaturas iniciais:
    • água quente: m_1=200\\ \mathrm{g} e T_1=100{,}0^\circ\mathrm{C}.
    • água fria: m_2=100\\ \mathrm{g} e T_2=20{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Sistema isolado termicamente do ambiente (ou seja, não troca calor com o exterior).
  • Calor específico da água: c=4{,}18\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.
  • O enunciado pede:
    (a) a temperatura de equilíbrio T_{\mathrm{eq}};
    (b) a variação de entropia do sistema \Delta S_{\text{total}};
    (c) interpretar o resultado da parte (b) à luz da 2ª Lei da Termodinâmica.
Observação importante sobre temperaturas: quando integrarmos dQ/T para calcular entropia, as temperaturas devem estar em Kelvin. Para converter: T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15.

Passo 2

Conservação de energia (primeira lei) para mistura isolada: o calor perdido pela porção quente é igual ao calor ganho pela porção fria. Como o calor específico é tido como constante, o balanço é
m_1 c (T_1-T_{\mathrm{eq}}) = m_2 c (T_{\mathrm{eq}}-T_2).
Aqui:
  • m_1 e m_2 são as massas (em \mathrm{g});
  • c é o calor específico (em \mathrm{J/(g\cdot K)});
  • T_1, T_2, T_{\mathrm{eq}} são as temperaturas em Kelvin (ou em ºC na forma de diferença, pois diferenças de temperatura em K e ºC coincidem).
Rearranjando (ou somando os dois termos):
(m_1+m_2)c\,T_{\mathrm{eq}} = m_1 c T_1 + m_2 c T_2.
Cancelando c (não nulo) obtemos a fórmula direta para T_{\mathrm{eq}}:
T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2}.

Passo 3

Converter as temperaturas iniciais para Kelvin e calcular numericamente T_{\mathrm{eq}}.
  • T_1 = 100{,}0^\circ\mathrm{C} = 100{,}0 + 273{,}15 = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • T_2 = 20{,}0^\circ\mathrm{C} = 20{,}0 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
Aplicando a fórmula
T_{\mathrm{eq}} = \frac{200\cdot 373{,}15 + 100\cdot 293{,}15}{200+100} = \frac{103945}{300} = 346{,}483\dots\\ \mathrm{K}.
Converter para Celsius:
T_{\mathrm{eq}} = 346{,}483\dots - 273{,}15 = 73{,}333\dots^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente com base nos dados, T_{\mathrm{eq}}\approx 73{,}33^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Fórmula para variação de entropia de cada porção de água (explicação didática).
  • Entropia diferencial é definida por dS = \dfrac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}.
  • Para aquecimento/resfriamento à pressão e calor específico aproximadamente constantes, o calor reversível trocado ao variar a temperatura de T_i para T_f é
\delta Q_{\mathrm{rev}} = m c\, dT,
então a variação de entropia é a integral
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c\, dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui:
  • m é a massa (em \mathrm{g});
  • c é o calor específico (em \mathrm{J/(g\cdot K)});
  • T_i e T_f devem estar em Kelvin;
  • O resultado tem unidade \mathrm{J/K}.
Aplicamos essa fórmula separadamente para a água quente e para a água fria, com T_f=T_{\mathrm{eq}}.

Passo 5

Cálculo da variação de entropia da água quente (perde calor, portanto variação negativa).
Usando \Delta S_1 = m_1 c \ln\!\left(\dfrac{T_{\mathrm{eq}}}{T_1}\right), com valores em Kelvin:
\Delta S_1 = 200\cdot 4{,}18 \cdot \ln\!\left(\frac{346{,}48333}{373{,}15}\right).
Calculemos passo a passo:
  • Razão r_1=\dfrac{346{,}48333}{373{,}15}\approx 0{,}928484.
  • \ln r_1 \approx -0{,}07419 (cálculo por série ou tabela).
  • Produto: 200\cdot 4{,}18 = 836.
    Portanto
\Delta S_1 \approx 836\cdot (-0{,}07419) \approx -61{,}997\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Cálculo da variação de entropia da água fria (ganha calor, portanto variação positiva).
Usando \Delta S_2 = m_2 c \ln\!\left(\dfrac{T_{\mathrm{eq}}}{T_2}\right):
\Delta S_2 = 100\cdot 4{,}18 \cdot \ln\!\left(\frac{346{,}48333}{293{,}15}\right).
Passo a passo:
  • Razão r_2=\dfrac{346{,}48333}{293{,}15}\approx 1{,}182273.
  • \ln r_2 \approx 0{,}16740.
  • Produto: 100\cdot 4{,}18 = 418.
    Portanto
\Delta S_2 \approx 418\cdot 0{,}16740 \approx 69{,}976\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Variação de entropia total do sistema (soma das variações das duas porções):
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 \approx -61{,}997 + 69{,}976 = 7{,}979\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando de forma consistente: \Delta S_{\text{total}}\approx 7{,}98\\ \mathrm{J/K}.
Também é útil apresentar os dois contributos separados (resumo numérico):
  • \Delta S_1 \approx -61{,}99\\ \mathrm{J/K} (água a 100{,}0^\circ\mathrm{C}),
  • \Delta S_2 \approx +69{,}96\\ \mathrm{J/K},
  • total \approx +7{,}98\\ \mathrm{J/K}.

Passo 8

Interpretação à luz da 2ª Lei da Termodinâmica (explicação didática e motivacional).
  • A 2ª Lei diz, entre outras formas, que para um sistema isolado a entropia total não pode diminuir: \Delta S_{\text{total}}\ge 0.
  • Aqui encontramos \Delta S_{\text{total}}\approx +7{,}98\\ \mathrm{J/K}>0. Isso significa que o processo (troca de calor entre duas amostras inicialmente a temperaturas diferentes) é irreversível e aumenta a entropia total do sistema isolado — exatamente o que a 2ª Lei prevê.
  • Fisicamente: o calor flui espontaneamente do corpo mais quente para o mais frio; o resfriamento do quente reduz sua entropia, mas o aquecimento do frio aumenta a entropia por uma quantidade maior, resultando em aumento líquido de entropia.
  • Conforto moral: o resultado é totalmente consistente com a 2ª Lei — nada estranho aqui; a entropia aumentou porque o processo é espontâneo e irreversível.

Resposta

(a) T_{\mathrm{eq}} = 73{,}33^\circ\mathrm{C}
(b) \Delta S_{\text{total}} \approx 7{,}98\\ \mathrm{J/K}
(c) \Delta S_{\text{total}}>0: a entropia do sistema isolado aumenta, indicando que o processo é irreversível e está de acordo com a 2ª Lei da Termodinâmica.

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