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Em um polígono convexo regular, a medida de cada ângulo externo está entre
e
.
Sabendo-se que nenhuma de suas diagonais passa pelo seu próprio centro, conclui-se que a soma dos seus ângulos internos vale
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
Sabendo-se que nenhuma de suas diagonais passa pelo seu próprio centro, conclui-se que a soma dos seus ângulos internos vale
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá estas informações e pede uma coisa clara:
- É um polígono convexo regular (todos os lados e ângulos iguais).
- A medida de cada ângulo externo está entre
e . - Nenhuma das diagonais do polígono passa pelo seu centro.
- Pergunta: qual é a soma dos ângulos internos do polígono?
Vou listar as informações numéricas que vou usar explicitamente:
- ângulo externo
satisfaz .
Passo 2
Entendendo o que é ângulo externo e como ele se relaciona com o número de lados
:
- Em qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos (um externo por vértice, tomado sempre no mesmo sentido) vale
. Isso porque ao “dar a volta” ao polígono os desvios somam uma volta inteira. - Se o polígono é regular, todos os ângulos externos têm a mesma medida. Logo a medida de cada ângulo externo é
onde
é o número de lados (ou vértices) do polígono.
Também é útil saber a fórmula da soma dos ângulos internos:
onde
é a soma pedida. Vou precisar determinar
para calcular
.
Passo 3
Usando a informação
com
:
Dividindo tudo por
(ou simplesmente operando com os números), e resolvendo para
: primeiro tomamos recíprocos. Como a função recíproca é decrescente para positivos, ao inverter as frações as desigualdades invertem de direção:
Multiplicando por
:
Agora calculo as bordas numericamente (com vírgula como separador decimal):
Logo
é um inteiro estritamente entre
e
. Os inteiros possíveis são
Passo 4
Agora uso a condição sobre as diagonais: “nenhuma de suas diagonais passa pelo seu próprio centro”.
Explicação didática do que isso significa para
:
- Num polígono regular, um segmento que liga dois vértices passa pelo centro do polígono exatamente quando esses dois vértices são diametralmente opostos — isto é, quando há um vértice exatamente do outro lado do centro. Isso ocorre se, e somente se, existe um deslocamento de
vértices inteiro entre eles. - Portanto, existe tal par de vértices (e consequentemente existe uma diagonal passando pelo centro) sempre que
é par: para par, o vértice e o vértice são opostos e o segmento que os une passa pelo centro. Para ímpar não há vértices diametralmente opostos e, assim, nenhuma diagonal passa pelo centro.
Como o enunciado afirma que nenhuma diagonal passa pelo centro, concluímos que
deve ser ímpar. Dos candidatos
e
, o único ímpar é
Passo 5
Com
usamos a fórmula da soma dos ângulos internos:
Substituindo
:
Faço a multiplicação de forma direta:
.
Portanto a soma dos ângulos internos vale
.