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Em um polígono convexo regular, a medida de cada ângulo externo está entre 13^{\circ} e 14^{\circ}.
Sabendo-se que nenhuma de suas diagonais passa pelo seu próprio centro, conclui-se que a soma dos seus ângulos internos vale
(A) 4680^{\circ}.
(B) 4500^{\circ}.
(C) 4320^{\circ}.
(D) 4140^{\circ}.
(E) 4000^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede uma coisa clara:
  • É um polígono convexo regular (todos os lados e ângulos iguais).
  • A medida de cada ângulo externo está entre 13^{\circ} e 14^{\circ}.
  • Nenhuma das diagonais do polígono passa pelo seu centro.
  • Pergunta: qual é a soma dos ângulos internos do polígono?
Vou listar as informações numéricas que vou usar explicitamente:
  • ângulo externo \theta satisfaz 13^{\circ}<\theta<14^{\circ}.

Passo 2

Entendendo o que é ângulo externo e como ele se relaciona com o número de lados n:
  • Em qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos (um externo por vértice, tomado sempre no mesmo sentido) vale 360^{\circ}. Isso porque ao “dar a volta” ao polígono os desvios somam uma volta inteira.
  • Se o polígono é regular, todos os ângulos externos têm a mesma medida. Logo a medida de cada ângulo externo é
\theta=\frac{360^{\circ}}{n},
onde n é o número de lados (ou vértices) do polígono.
Também é útil saber a fórmula da soma dos ângulos internos:
S=(n-2)\cdot 180^{\circ},
onde S é a soma pedida. Vou precisar determinar n para calcular S.

Passo 3

Usando a informação \,13^{\circ}<\theta<14^{\circ}\, com \theta=\dfrac{360^{\circ}}{n}:
13^{\circ}<\frac{360^{\circ}}{n}<14^{\circ}.
Dividindo tudo por 1^{\circ} (ou simplesmente operando com os números), e resolvendo para n: primeiro tomamos recíprocos. Como a função recíproca é decrescente para positivos, ao inverter as frações as desigualdades invertem de direção:
\frac{1}{13}>\frac{n}{360}>\frac{1}{14}.
Multiplicando por 360:
\frac{360}{13}>n>\frac{360}{14}.
Agora calculo as bordas numericamente (com vírgula como separador decimal):
\frac{360}{13}\approx 27,6923\ldots,\qquad \frac{360}{14}\approx 25,7142857\ldots
Logo n é um inteiro estritamente entre 25,714\ldots e 27,692\ldots. Os inteiros possíveis são
n=26\quad\text{ou}\quad n=27.

Passo 4

Agora uso a condição sobre as diagonais: “nenhuma de suas diagonais passa pelo seu próprio centro”.
Explicação didática do que isso significa para n:
  • Num polígono regular, um segmento que liga dois vértices passa pelo centro do polígono exatamente quando esses dois vértices são diametralmente opostos — isto é, quando há um vértice exatamente do outro lado do centro. Isso ocorre se, e somente se, existe um deslocamento de n/2 vértices inteiro entre eles.
  • Portanto, existe tal par de vértices (e consequentemente existe uma diagonal passando pelo centro) sempre que n é par: para n par, o vértice k e o vértice k+\dfrac{n}{2} são opostos e o segmento que os une passa pelo centro. Para n ímpar não há vértices diametralmente opostos e, assim, nenhuma diagonal passa pelo centro.
Como o enunciado afirma que nenhuma diagonal passa pelo centro, concluímos que n deve ser ímpar. Dos candidatos n=26 e n=27, o único ímpar é
n=27.

Passo 5

Com n=27 usamos a fórmula da soma dos ângulos internos:
S=(n-2)\cdot 180^{\circ}.
Substituindo n=27:
S=(27-2)\cdot 180^{\circ}=25\cdot 180^{\circ}.
Faço a multiplicação de forma direta: 25\cdot 180=25\cdot(100+80)=2500+2000=4500.
Portanto a soma dos ângulos internos vale 4500^{\circ}.

Resposta

4500^{\circ}

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