6a Questão: Para pequenas vibrações, pode ser mostrado que uma viga obedece a equação
partial^2 upartial t^2+c^2 partial^4 upartial x^4=0
onde c^2=E Irho A,(E= módulo de Young, I=integral dupla z^2 d z d y, rho= massa específica, A é a área da seção transversal). Determine as soluções de (2) para o caso da viga bi-articulada, isto é u(0)=u(L)=0 e u^prime prime(0)=u^prime prime(L)=0, onde L é o comprimento da viga.

Passo 1

O enunciado dá a equação de vibração de uma viga
partial^2upartial t^2 + c^2,partial^4upartial x^4 = 0
com as condições de contorno de uma viga bi-articulada (simply supported):
u(0,t)=0, u(L,t)=0, uxx(0,t)=0, uxx(L,t)=0
O objetivo é encontrar as soluções próprias em x (modos) e os pulsos naturais em t.

Passo 2

Vamos usar separação de variáveis, assumindo
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na PDE e dividindo por X,T obtemos
T''(t)T(t) + c^2,X''''(x)X(x) = 0 Longrightarrow T''(t)T(t) = -lambda, X''''(x)X(x) = lambdac^2,
onde lambda é a constante de separação (autovalor).

Passo 3

Escrevendo as EDOs separadas:
T'' + lambda,T = 0, X'''' - alpha^4,X = 0,
com definição alpha^4=lambda/c^2, ou seja alpha = lambda^1/4/c^1/2.

Passo 4

A EDO espacial X'''' - alpha^4X=0 tem solução geral
X(x)=Acosh(alpha x)+Bsinh(alpha x)+Ccos(alpha x)+Dsin(alpha x)
Impondo as condições de contorno:
  1. X(0)=0 A+C=0.
  2. X''(0)=0 alpha^2(A - C)=0.
    Dessas duas resulta A=C=0.
    Então
X(x)=Bsinh(alpha x)+Dsin(alpha x)

Passo 5

As restantes X(L)=0 e X''(L)=0 geram o sistema
Bsinh(alpha L)+Dsin(alpha L)=0,
B,alpha^2sinh(alpha L) - D,alpha^2sin(alpha L)=0
Para solução não trivial de B,D precisamos do determinante zero, o que implica
sinh(alpha L),sin(alpha L)=0
Como sinh(alpha L)neq0 para alpha>0, exige-se
sin(alpha L)=0 ;Longrightarrow; alpha L = npi, n=1,2,3,dots

Passo 6

Temos assim os autovalores
alphan = npiL, lambdan = c^2,alphan^4 = c^2,l(npiLr)^4
As autofunções espaciais (até constante de normalização) são
Xn(x)=sin!l(alphanxr) =sin!l(npi xLr),
que de fato satisfazem Xn(0)=Xn(L)=0 e Xn''(0)=Xn''(L)=0.

Passo 7

A parte temporal solve
Tn'' + lambdan,Tn=0 Longrightarrow Tn(t)=Ancos(omegant)+Bnsin(omegant),
onde o pulso natural é
omegan = raizlambdan = c,l(npiLr)^2

Resposta

A solução geral da vibração da viga bi-articulada é
u(x,t) =sumn=1^infty l[Ancos(omegant)+Bnsin(omegant)r] sin!l(npi xLr),
com modos espaciais sin(npi x/L) e pulsos naturais
omegan = c,l(npiLr)^2, n=1,2,3,dots

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