6a Questão: Para pequenas vibrações, pode ser mostrado que uma viga obedece a equação
onde
módulo de Young,
massa específica, A é a área da seção transversal). Determine as soluções de (2) para o caso da viga bi-articulada, isto é
e
, onde L é o comprimento da viga.
Passo 1
O enunciado dá a equação de vibração de uma viga
com as condições de contorno de uma viga bi-articulada (simply supported):
O objetivo é encontrar as soluções próprias em
(modos) e os pulsos naturais em
.
Passo 2
Vamos usar separação de variáveis, assumindo
Substituindo na PDE e dividindo por
obtemos
onde
é a constante de separação (autovalor).
Passo 3
Escrevendo as EDOs separadas:
com definição
, ou seja
.
Passo 4
A EDO espacial
tem solução geral
Impondo as condições de contorno:
-
dá . -
dá .
Dessas duas resulta.
Então
Passo 5
As restantes
e
geram o sistema
Para solução não trivial de
precisamos do determinante zero, o que implica
Como
para
, exige-se
Passo 6
Temos assim os autovalores
As autofunções espaciais (até constante de normalização) são
que de fato satisfazem
e
.
Passo 7
A parte temporal solve
onde o pulso natural é
Resposta
A solução geral da vibração da viga bi-articulada é
com modos espaciais
e pulsos naturais