Esboce o gráfico da função e determine o conjunto
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
e determinar o conjunto imagem
. O conteúdo aqui é a função exponencial com base
, que está definida para todo
.
Passo 2
Vamos analisar propriedades básicas de
:
- Domínio:
, pois podemos calcular para qualquer . - Sinal:
para todo . - Monotonicidade: a derivada é
logo a função é estritamente crescente.
- Comportamento nas extremidades:
- Quando
, , o que sugere uma assíntota horizontal em . - Quando
, .
- Quando
Passo 3
Para esboçar o gráfico, identificamos alguns pontos notáveis:
Em
a curva se aproxima de
sem tocá-la, e em
cresce sem limite. O esboço é uma curva suave, sempre acima de
, passando por
e subindo para a direita.
Passo 4
Como vimos,
para todo
e pode atingir valores arbitrariamente pequenos (mas positivos) e arbitrariamente grandes. Portanto, o conjunto imagem é