Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=e^x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x) = e^x
e determinar o conjunto imagem Im(f). O conteúdo aqui é a função exponencial com base e, que está definida para todo xinR.

Passo 2

Vamos analisar propriedades básicas de f(x)=e^x:
  • Domínio: R, pois podemos calcular e^x para qualquer x.
  • Sinal: e^x>0 para todo x.
  • Monotonicidade: a derivada é
f'(x)=e^x>0,
logo a função é estritamente crescente.
  • Comportamento nas extremidades:
    • Quando xto-infty, e^xto0^+, o que sugere uma assíntota horizontal em y=0.
    • Quando xto+infty, e^xto+infty.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, identificamos alguns pontos notáveis:
f(0)=e^0 = 1, f(1)=e^1 = e, f(-1)=e^-1 = tfrac1e
Em xto-infty a curva se aproxima de y=0 sem tocá-la, e em xto+infty cresce sem limite. O esboço é uma curva suave, sempre acima de y=0, passando por (0,1) e subindo para a direita.

Passo 4

Como vimos, f(x)>0 para todo x e pode atingir valores arbitrariamente pequenos (mas positivos) e arbitrariamente grandes. Portanto, o conjunto imagem é
Im(f) = (0,infty)

Resposta

Im(f) = (0,infty).

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