1.6B Mostre que n(n^2+5) é divisível por 6. (sug. use o Exemplo 1.5.3).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que n(n^2+5) é divisível por 6 para todo ninZ. O conteúdo envolvido é prova de divisibilidade e, conforme sugestão, usaremos o resultado do Exemplo 1.5.3, que afirma que n^3 - n é múltiplo de 6.

Passo 2

Reescrevemos n(n^2+5) de modo a relacioná-lo com n^3-n:
n(n^2+5)=n^3+5n=(n^3 - n)+6n

Passo 3

Do Exemplo 1.5.3 sabemos que existe kinZ tal que
n^3 - n = 6k,
ou seja, n^3 - n é divisível por 6.

Passo 4

Além disso, 6n é claramente divisível por 6, pois
6n = 6cdot n

Passo 5

Somando os dois termos vemos que
n(n^2+5) = (n^3 - n) + 6n = 6k + 6n = 6,(k+n),
logo n(n^2+5) é múltiplo de 6.

Resposta

Para todo ninZ, 6mid n(n^2+5).

Exercícios relacionados