Dada a EDOLÑH e uma solução y1 da EDOLH associada, resolva as equações:
t^2 y^prime prime-2 t y^prime+2 y=t^3 cos t, y1(t)=t.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy não homogênea
t^2y''-2t,y'+2y=t^3cos t
sabendo que uma solução da homogênea associada é y1(t)=t. Vamos primeiro resolver a parte homogênea por equação característica e depois usar variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é
t^2y''-2t,y'+2y=0
Supondo y=t^m, temos a equação característica
m(m-1)-2m+2=m^2-3m+2=0,
cuja solução é m=1 e m=2. Logo a segunda solução independente é y2(t)=t^2.

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W= y1&y2 y1'&y2' = t&t^2 1&2t =2t^2-t^2=t^2
e do termo não homogêneo dividido pelo coeficiente principal t^2, ou seja
f(t)=t^3cos tt^2=tcos t

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'=-f(t),y2W=-tcos tcdot t^2t^2=-tcos t, u2'=f(t),y1W=tcos tcdot tt^2=cos t
Integrando,
u1=-integral tcos t,dt=-(tsin t+cos t), u2=integralcos t,dt=sin t

Passo 5

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2 =(-tsin t-cos t),t+(sin t),t^2 =-tcos t

Passo 6

Portanto, a solução geral da equação é
y(t)=C1t + C2t^2 ;+;yp(t) = C1t + C2t^2 - tcos t

Resposta

y(t)=C1t + C2t^2 - tcos t.

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