Dada a EDOLÑH e uma solução da EDOLH associada, resolva as equações: .
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy não homogênea
sabendo que uma solução da homogênea associada é . Vamos primeiro resolver a parte homogênea por equação característica e depois usar variação de parâmetros para achar uma solução particular.
Passo 2
A parte homogênea é
Supondo , temos a equação característica
cuja solução é e . Logo a segunda solução independente é .
Passo 3
Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
e do termo não homogêneo dividido pelo coeficiente principal t^2, ou seja
f(t)=t^3cos tt^2=tcos t
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'=-f(t),y2W=-tcos tcdot t^2t^2=-tcos t, u2'=f(t),y1W=tcos tcdot tt^2=cos t
Integrando,
u1=-integral tcos t,dt=-(tsin t+cos t), u2=integralcos t,dt=sin t
Passo 5
A solução particular é
yp=u1y1+u2y2 =(-tsin t-cos t),t+(sin t),t^2 =-tcos t