9-8 Transform the position
radians, 0.96 m
from cylindrical
coordinates to Cartesian
coordinates, including units. Write all three components of
in units of meters.
Passo 1
O enunciado pede para transformar a posição dada em coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas e escrever todas as três componentes de
em unidades de metros. As informações fornecidas são:
- raio:
- ângulo:
- altura:
Passo 2
Vamos recordar as fórmulas de transformação de coordenadas cilíndricas
para cartesianas
. Geometricamente,
é a distância ao eixo
no plano
, e
é o ângulo medido a partir do eixo
. As fórmulas são:
Explicando:
é a projeção de
no eixo
(por isso se multiplica por
), e
é a projeção de
no eixo
(por isso se multiplica por
). O
permanece o mesmo porque cilindricas usam o mesmo eixo vertical.
Passo 3
Precisamos dos valores de
e
. No círculo unitário sabe-se que:
Isto vem do triângulo isósceles de vértices em ângulo
(ou
rad).
Passo 4
Calcular
usando a fórmula:
Agora o valor numérico aproximado (útil para a prova):
Passo 5
Calcular
usando a fórmula:
O valor numérico aproximado é o mesmo de
:
Passo 6
O componente
em coordenadas cilíndricas já está em metros e não muda na transformação:
Passo 7
Juntando os três componentes, a posição em coordenadas cartesianas fica, em forma exata e aproximada:
ou, numericamente aproximando: