9-8 Transform the position x=(3 \mathrm{~m}, \pi / 4 radians, 0.96 m ) from cylindrical (r, \theta, z) coordinates to Cartesian (x, y, z) coordinates, including units. Write all three components of \vec{x} in units of meters.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a posição dada em coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas e escrever todas as três componentes de \vec{x} em unidades de metros. As informações fornecidas são:
  • raio: r=3\\ \mathrm{m}
  • ângulo: \theta=\pi/4\\ \text{radianos}
  • altura: z=0,96\\ \mathrm{m}

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas de transformação de coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) para cartesianas (x,y,z). Geometricamente, r é a distância ao eixo z no plano xy, e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. As fórmulas são:
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta,
z = z.
Explicando: x é a projeção de r no eixo x (por isso se multiplica por \cos\theta), e y é a projeção de r no eixo y (por isso se multiplica por \sin\theta). O z permanece o mesmo porque cilindricas usam o mesmo eixo vertical.

Passo 3

Precisamos dos valores de \cos(\pi/4) e \sin(\pi/4). No círculo unitário sabe-se que:
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Isto vem do triângulo isósceles de vértices em ângulo 45^\circ (ou \pi/4 rad).

Passo 4

Calcular x usando a fórmula:
x = r\cos\theta = 3\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m}.
Agora o valor numérico aproximado (útil para a prova):
\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,121\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular y usando a fórmula:
y = r\sin\theta = 3\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m}.
O valor numérico aproximado é o mesmo de x:
\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,121\\ \mathrm{m}.

Passo 6

O componente z em coordenadas cilíndricas já está em metros e não muda na transformação:
z = 0,96\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Juntando os três componentes, a posição em coordenadas cartesianas fica, em forma exata e aproximada:
\vec{x} = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m},\\ \frac{3\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m},\\\ 0,96\\ \mathrm{m}\right)
ou, numericamente aproximando:
\vec{x} \approx (2,121\\ \mathrm{m},\\\ 2,121\\ \mathrm{m},\\\ 0,96\\ \mathrm{m}).

Resposta

\;x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m}\approx 2,121\\ \mathrm{m}
\;y=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m}\approx 2,121\\ \mathrm{m}
\;z=0,96\\ \mathrm{m}

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