Sejam A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) tais que \operatorname{det} A=4 \mathrm{e} \operatorname{det} B=5 .Determine:
\operatorname{det} A^{-1} B

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes invertíveis em M_{n}(\mathbb{R}) com \det A=4 e \det B=5. O conteúdo aqui é a propriedade de determinante de produto e de inversa. Vamos precisar de:
  1. \det(AB)=\det A\cdot\det B.
  2. \det(A^{-1})=(\det A)^{-1}.

Passo 2

Usando essas propriedades, temos
\det\bigl(A^{-1}B\bigr) =\det\bigl(A^{-1}\bigr)\,\det(B) =(\det A)^{-1}\,\det B.

Passo 3

Substituindo \det A=4 e \det B=5, obtemos
\det\bigl(A^{-1}B\bigr) =\frac{1}{4}\cdot5 =\frac{5}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}

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