Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{aligned} x-y & =3 \\\\ 2 x+3 y & =16 \\\ x+2 y & =9 \\\\ 5 x-4 y & =17\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro equações lineares em duas incógnitas x e y:
\begin{cases} x - y = 3,\\\\ 2x + 3y = 16,\\\ x + 2y = 9,\\\\ 5x - 4y = 17.
Somos chamados a classificar o sistema (compatível determinado, compatível indeterminado ou impossível) e a resolver caso seja compatível. Para isso, usaremos o método da substituição e, ao final, conferiremos a consistência em todas as equações e o posto (rank) da matriz de coeficientes.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
x - y = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = y + 3.
Substituímos esse valor de x na segunda equação:
2x + 3y = 16 \quad\Longrightarrow\quad 2(y+3) + 3y = 16 \quad\Longrightarrow\quad 2y + 6 + 3y = 16 \quad\Longrightarrow\quad 5y = 10 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.

Passo 3

Com y = 2, voltamos a x = y + 3:
x = 2 + 3 = 5.

Passo 4

Verificamos agora se (x,y)=(5,2) satisfaz as equações restantes:
– Terceira equação:
x + 2y = 5 + 2\cdot2 = 5 + 4 = 9,
exatamente o valor dado.
– Quarta equação:
5x - 4y = 5\cdot5 - 4\cdot2 = 25 - 8 = 17,
também conforme desejado.
Como todas as equações são satisfeitas, o sistema é compatível. Para classificar seu posto, notamos que há duas incógnitas e vemos que, apesar de quatro equações, apenas duas são linearmente independentes (posto da matriz de coeficientes r(A)=2) e o posto da matriz aumentada r(A|b)=2. Como r(A)=r(A|b)= número de incógnitas, o sistema é compatível determinado.

Resposta

O sistema é compatível determinado e sua solução única é
(x,y) = (5,2).

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