1.6E Demonstre a seguinte regra de Leibniz para derivação:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, por indução em
, a fórmula que dá a derivada de ordem
do produto de duas funções
e
:
Vamos usar a linearidade da derivação, a regra do produto e uma identidade de coeficientes binomiais.
Passo 2
Base de indução (
).
Por definição, a derivada de ordem zero de uma função é a própria função, então
Por definição, a derivada de ordem zero de uma função é a própria função, então
Por outro lado, o somatório para
é
logo a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que a fórmula seja verdadeira para uma ordem
qualquer, isto é,
Queremos mostrar que ela vale também para
.
Passo 4
Aplicamos a derivada a ambos os lados da hipótese de indução. Como derivada de soma é soma de derivadas e usando a regra do produto em cada termo, obtemos
Pela regra do produto em
temos
Então
Passo 5
Separamos o somatório em duas somas e reindexamos a segunda tirando
:
Agora somamos termo a termo, lembrando que
. Incluindo os casos
e
(onde um dos binomiais é zero), chega-se a
que é exatamente a fórmula desejada para a ordem
.
Passo 6
Concluímos, por indução, que para todo
vale
Resposta
A demonstração por indução mostra que
ou seja, a regra de Leibniz para derivada de ordem
do produto de
e
.