1.6E Demonstre a seguinte regra de Leibniz para derivação:
[f g]^(n)=sumk=0^nbinomnk f^(n-k) g^(k)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, por indução em n, a fórmula que dá a derivada de ordem n do produto de duas funções f e g:
[f g]^(n)=sumk=0^nbinomnk f^(n-k),g^(k)
Vamos usar a linearidade da derivação, a regra do produto e uma identidade de coeficientes binomiais.

Passo 2

Base de indução ( n=0).
Por definição, a derivada de ordem zero de uma função é a própria função, então
[f g]^(0) = f g
Por outro lado, o somatório para n=0 é
sumk=0^0binom0k f^(0-k),g^(k) =binom00f^(0)g^(0)=1cdot f,g,
logo a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que a fórmula seja verdadeira para uma ordem n qualquer, isto é,
[f g]^(n)=sumk=0^nbinomnk f^(n-k),g^(k)
Queremos mostrar que ela vale também para n+1.

Passo 4

Aplicamos a derivada a ambos os lados da hipótese de indução. Como derivada de soma é soma de derivadas e usando a regra do produto em cada termo, obtemos
[f g]^(n+1) =ddxl[f gr]^(n) =ddxsumk=0^nbinomnk f^(n-k),g^(k) =sumk=0^nbinomnkddxl(f^(n-k),g^(k)r)
Pela regra do produto em ddxl(f^(n-k)g^(k)r) temos
ddxl(f^(n-k)g^(k)r) =f^(n+1-k)g^(k)+f^(n-k)g^(k+1)
Então
[f g]^(n+1) =sumk=0^nbinomnkl(f^(n+1-k)g^(k)+f^(n-k)g^(k+1)r)

Passo 5

Separamos o somatório em duas somas e reindexamos a segunda tirando k+1=j:
sumk=0^nbinomnkf^(n+1-k)g^(k) +sumk=0^nbinomnkf^(n-k)g^(k+1) =sumk=0^nbinomnkf^(n+1-k)g^(k) +sumj=1^n+1binomnj-1f^(n+1-j)g^(j)
Agora somamos termo a termo, lembrando que binomnk+binomnk-1=binomn+1k. Incluindo os casos k=0 e k=n+1 (onde um dos binomiais é zero), chega-se a
[f g]^(n+1) =sumk=0^n+1binomn+1kf^(n+1-k)g^(k),
que é exatamente a fórmula desejada para a ordem n+1.

Passo 6

Concluímos, por indução, que para todo n>=0 vale
[f g]^(n)=sumk=0^nbinomnk f^(n-k),g^(k)

Resposta

A demonstração por indução mostra que
[f g]^(n)=sumk=0^nbinomnk f^(n-k),g^(k),
ou seja, a regra de Leibniz para derivada de ordem n do produto de f e g.

Exercícios relacionados