Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
pelo método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro obter a solução geral da parte homogênea e depois encontrar uma solução particular para o termo forçante
.
Passo 2
A parte homogênea é
Formamos a equação característica
, cujas raízes são
Logo a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para o termo não homogêneo
, fazemos o ansatz
onde
é um polinômio de grau 3, pois a parte algébrica é
. Como
não é raiz da equação característica, não multiplicamos por potência de
. Então
Passo 4
Calculamos
e
usando a regra do produto
:
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Isso deve ser igual a
, logo
Passo 6
Agora substituímos
em
Igualando a
obtemos o sistema:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Logo
e
Passo 8
A solução geral da equação é