Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+3 y=-48 x^3 e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 3y = -48,x^3 e^3x
pelo método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro obter a solução geral da parte homogênea e depois encontrar uma solução particular para o termo forçante -48,x^3 e^3x.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 3y = 0
Formamos a equação característica r^2 + 3 = 0, cujas raízes são
r = pm iraiz3
Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 cosl(raiz3,xr) + C2 sinl(raiz3,xr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para o termo não homogêneo -48,x^3 e^3x, fazemos o ansatz
yp = e^3x P(x),
onde P(x) é um polinômio de grau 3, pois a parte algébrica é x^3. Como 3 não é raiz da equação característica, não multiplicamos por potência de x. Então
P(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D

Passo 4

Calculamos yp' e yp'' usando a regra do produto e^3xP(x):
yp' = e^3xl(3P + P'r), yp'' = e^3xl(9P + 6P' + P''r)

Passo 5

Substituindo em y''+3y obtemos
yp'' + 3yp = e^3xl(9P + 6P' + P''r) + 3,e^3xP = e^3xl(P'' + 6P' + 12Pr)
Isso deve ser igual a -48,x^3 e^3x, logo
P''(x) + 6P'(x) + 12P(x) = -48,x^3

Passo 6

Agora substituímos
P(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D, P'(x) = 3A x^2 + 2B x + C, P''(x) = 6A x + 2B
em
P'' + 6P' + 12P = 12A x^3 + (18A +12B)x^2 + (6A+12B+12C)x + (2B+6C+12D)
Igualando a -48,x^3 obtemos o sistema:
12A = -48, 18A + 12B = 0, 6A + 12B + 12C = 0, 2B + 6C + 12D = 0

Passo 7

Resolvendo o sistema:
A = -4, B = 6, C = -4, D = 1
Logo
P(x) = -4x^3 + 6x^2 -4x +1
e
yp = e^3xl(-4x^3 + 6x^2 -4x +1r)

Passo 8

A solução geral da equação é
y(x) = yh + yp = C1 cosl(raiz3,xr) + C2 sinl(raiz3,xr) + e^3xl(-4x^3 + 6x^2 -4x +1r)

Resposta

y(x) = C1 cosl(raiz3,xr) + C2 sinl(raiz3,xr) + e^3xl(-4x^3 + 6x^2 -4x +1r)

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