3.6E Qual a Série de Maclaurin do polinômio P(x)=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n ?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=a0+a1x+a2x^2+cdots+anx^n
e pede a Série de Maclaurin de P. O conteúdo é a definição de Série de Maclaurin, que usa as derivadas de P em 0.

Passo 2

Lembrando que a Série de Maclaurin de uma função f é
f(x)=sumk=0^inftyf^(k)(0)k!,x^k,
quando todas as derivadas existem e a série converge.

Passo 3

Como P é um polinômio de grau n, suas derivadas de ordem k são
P^(k)(x)=k!,akx^0+(termos em x para k<n),
mas em x=0 só sobrevive o termo constante. Logo, para 0<= k<= n,
P^(k)(0)=k!,ak,
e, para k>n, P^(k)(0)=0.

Passo 4

Substituindo na fórmula da Série de Maclaurin, obtemos
P(x)=sumk=0^inftyP^(k)(0)k!,x^k =sumk=0^nk!,akk!,x^k =sumk=0^nak,x^k

Resposta

boxedP(x)=sumk=0^nak,x^k

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