Em cada caso abaixo, calcule a integral definida da função f, no intervalo I.
e) f(x)=|x^2-3 x+2| ; I=[-3,5].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-3^5l|x^2-3x+2r|,dx
O conteúdo envolvido é integração de valor absoluto, que exige identificar onde o polinômio interno muda de sinal e dividir a integral nesses pontos.

Passo 2

Encontrar as raízes de x^2-3x+2:
x^2-3x+2=(x-1)(x-2),
logo as raízes são x=1 e x=2.
Testando o sinal em cada intervalo:
– Para x<1, por exemplo em x=0, tem 0-0+2>0.
– Para 1<x<2, por exemplo em x=1,5, tem 2,25-4,5+2<0.
– Para x>2, por exemplo em x=3, tem 9-9+2>0.
Portanto
|x^2-3x+2|= x^2-3x+2,&xin[-3,1]cup[2,5], -(x^2-3x+2),&xin[1,2]

Passo 3

Calcular uma primitiva de x^2-3x+2. Uma antiderivada é
F(x)=integral (x^2-3x+2),dx =x^33-3x^22+2x

Passo 4

Expressar a integral original como soma de três parcelas:
integral-3^5l|x^2-3x+2r|,dx =integral-3^1(x^2-3x+2),dx ;-;integral1^2(x^2-3x+2),dx ;+;integral2^5(x^2-3x+2),dx
Calcular cada parte via F:
  1. integral-3^1(x^2-3x+2),dx =F(1)-F(-3)
    F(1)=tfrac13-tfrac32+2=tfrac56,
    F(-3)=-9-tfrac272-6=-tfrac572
    Logo
    F(1)-F(-3)=56-l(-572r) =56+1716 =1766 =883
  2. integral1^2(x^2-3x+2),dx =F(2)-F(1)
    F(2)=83-6+4=23
    Então
    F(2)-F(1)=23-56=-16,
    e como há o sinal negativo nessa faixa, contribui com
    ;-l(-tfrac16r)=tfrac16
  3. integral2^5(x^2-3x+2),dx =F(5)-F(2)
    F(5)=1253-752+10=856,
    F(2)=-43=-86
    Logo
    F(5)-F(2)=856-l(-86r) =936 =312

Passo 5

Somando as três parcelas:
883+16+312 =1766+16+936 =2706 =45

Resposta

integral-3^5l|x^2-3x+2r|,dx=45

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