Exercício 5. (F. 3.3, ex.4) Suponha que phinn=1^infty seja uma base ortonormal de L^2(a, b). Sejam c>0 e d in R duas constantes e definamos psinn=1^infty como o conjunto das funções psin(x)=c^12 phin(c x+d). Mostre que psinn=1^infty é uma base ortonormal de L^2(a-dc, b-dc). (Dica: Use mudança de coordenadas y=c x+d para provar que o conjunto psinn=1^infty é ortonormal e satisfaz as propriedades de base)

Passo 1

O enunciado nos dá uma base ortonormal phin de L^2(a,b) e define, para constantes c>0 e dinR, as funções
psin(x) = c^12,phinl(c,x + dr)
Queremos mostrar que psin é base ortonormal de L^2!l(a-dc,,b-dcr). Vamos usar a mudança de variável
y = c,x + d
para verificar os dois requisitos: ortonormalidade e completude.

Passo 2

(Ortonormalidade)
Tomemos m,ninN e calculemos o produto interno
lang<= psim,psinrang<= =integrala-dc^b-dc psim(x),psin(x),dx
Substituindo psik(x)=c^12phik(y) com y=cx+d, temos dx = dyc e os limites em y vão de a a b. Assim
lang<= psim,psinrang<= =integrala^b l(c^tfrac12phim(y)r), l(c^tfrac12phin(y)r), dyc =integrala^bphim(y),phin(y),dy =de<amn,
onde usamos que phin é ortonormal em L^2(a,b). Logo psin também é ortonormal.

Passo 3

(Completude)
Seja fin L^2!l(tfraca-dc,tfracb-dcr). Defina
g(y) ;=; c^-tfrac12,f!l(tfracy-dcr),
para yin[a,b]. Essa g pertence a L^2(a,b) e, por hipótese, se expande como
g(y) ;=;sumn=1^inftylang<= g,phinrang<=,phin(y)
Fazendo a troca inversa x=(y-d)/c e multiplicando ambos os lados por c^tfrac12, obtemos
f(x) =sumn=1^infty lang<= g,phinrang<=, c^tfrac12,phin(c,x+d) =sumn=1^infty lang<= f,psinrang<=, psin(x),
mostrando que psin gera todo L^2!l(tfraca-dc,tfracb-dcr).

Passo 4

Concluímos que psin satisfaz tanto a ortonormalidade quanto a completude em L^2!l(tfraca-dc,tfracb-dcr), logo é uma base ortonormal desse espaço.

Resposta

O conjunto psinn=1^infty é uma base ortonormal de L^2!l(tfraca-dc,tfracb-dcr).

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