Exercício 5. (F. 3.3, ex.4) Suponha que seja uma base ortonormal de . Sejam e duas constantes e definamos como o conjunto das funções . Mostre que é uma base ortonormal de . (Dica: Use mudança de coordenadas para provar que o conjunto é ortonormal e satisfaz as propriedades de base)
Passo 1
O enunciado nos dá uma base ortonormal de e define, para constantes e , as funções
Queremos mostrar que é base ortonormal de . Vamos usar a mudança de variável
para verificar os dois requisitos: ortonormalidade e completude.
Passo 2
(Ortonormalidade)
Tomemos e calculemos o produto interno
Substituindo psik(x)=c^12phik(y) com y=cx+d, temos dx = dyc e os limites em y vão de a a b. Assim