Questão 2 (2,0 pontos)
Dada a EDOL
y^prime prime prime-5 y^prime prime+9 y^prime-5 y=x e^2 x+3
(a) Determine a solução geral da EDOLH.
(b) Indicar de que forma deve-se procurar uma solução particular da EDLÑH sem, com tudo, determinar os coeficientes.

Passo 1

Resumindo, temos a equação diferencial linear com coeficientes constantes
y'''-5y''+9y'-5y = x e^2x + 3
O que se pede é: (a) achar a solução geral da parte homogênea
y'''-5y''+9y'-5y = 0
e (b) indicar o formato de um yp para tratar o termo não homogêneo sem calcular de fato os coeficientes.

Passo 2

Para a homogênea usamos o ansatz y=e^rx. Isso leva à equação característica
r^3 -5r^2 +9r -5 = 0
Testando r=1 vemos que 1-5+9-5=0, logo (r-1) é fator. Fazendo a divisão polinomial obtemos
r^3 -5r^2 +9r -5 = (r-1)(r^2-4r+5)

Passo 3

As raízes são
r1 = 1, r2,3 = 4 pm raiz16-202 = 2 pm i
Portanto a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^x ;+; e^2xl(C2cos x + C3sin xr)

Passo 4

Para a não homogênea usamos o método dos coeficientes a determinar. O lado direito é
x e^2x + 3,
que é soma de um termo do tipo “polinômio de grau 1 vezes e^2x” mais uma constante.
  1. Como r=2 não é raiz da característica, um ansatz para x e^2x é
yp1(x) = (A x + B),e^2x
  1. Como r=0 também não é raiz, para a constante 3 usamos
yp2(x) = D
Pela linearidade, o formato geral de um particular é
yp(x) = (A x + B),e^2x ;+; D,
sem ainda determinar A,B,D.

Resposta

(a) yh(x) = C1 e^x + e^2xl(C2cos x + C3sin xr)
(b) Procurar um particular da forma
yp(x) = (A x + B),e^2x + D

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