1.6F Seja r >= 0 um número real. Mostre que (1+r)^n >= 1+n r+n(n-1)2 r^2 e deduza a partir daí a desigualdade de Bernoulli: (1+r)^n >= 1+n r.

Passo 1

Resumindo, queremos provar por indução em n que, para todo r>=0,
(1+r)^n>= 1 + n,r + n(n-1)2,r^2
Como consequência imediata, basta notar que o termo tfracn(n-1)2r^2 é não–negativo, o que dá a desigualdade de Bernoulli
(1+r)^n>= 1 + n,r

Passo 2

Verificação do caso base n=1.
(1+r)^1 = 1+r e 1 + 1cdot r + 1cdot02,r^2 = 1+r
Logo para n=1 a desigualdade é uma igualdade, valendo (1+r)>=1+r.

Passo 3

Passo indutivo.
Suponha que a desigualdade valha para algum n>=1, ou seja,
(1+r)^n>= 1 + n,r + n(n-1)2,r^2
Multiplicando ambos os lados por (1+r), que é >=1, obtemos
(1+r)^n+1 = (1+r)^n,(1+r) >= l(1 + n,r + tfracn(n-1)2,r^2r)(1+r)
Expandindo o lado direito:
1 + (n+1),r + l(tfracn(n-1)2 + nr)r^2 + tfracn(n-1)2,r^3
Como tfracn(n-1)2+n = tfracn(n+1)2 e r^3>=0, concluímos
(1+r)^n+1>= 1 + (n+1)r + (n+1)n2,r^2,
o que fecha o passo indutivo.

Passo 4

Para deduzir a desigualdade de Bernoulli, basta retirar o termo positivo tfracn(n-1)2r^2 da desigualdade já provada:
(1+r)^n >= 1 + n,r + n(n-1)2,r^2 ;>=;1 + n,r

Resposta

Mostramos por indução que
(1+r)^n>= 1 + n,r + n(n-1)2,r^2,
e daí concluímos imediatamente a desigualdade de Bernoulli
(1+r)^n>= 1 + n,r

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