1.6F Seja
um número real. Mostre que
e deduza a partir daí a desigualdade de Bernoulli:
.
Passo 1
Resumindo, queremos provar por indução em
que, para todo
,
Como consequência imediata, basta notar que o termo
é não–negativo, o que dá a desigualdade de Bernoulli
Passo 2
Verificação do caso base
.
Logo para
a desigualdade é uma igualdade, valendo
.
Passo 3
Passo indutivo.
Suponha que a desigualdade valha para algum , ou seja,
Suponha que a desigualdade valha para algum
Multiplicando ambos os lados por
, que é
, obtemos
Expandindo o lado direito:
Como
e
, concluímos
o que fecha o passo indutivo.
Passo 4
Para deduzir a desigualdade de Bernoulli, basta retirar o termo positivo
da desigualdade já provada:
Resposta
Mostramos por indução que
e daí concluímos imediatamente a desigualdade de Bernoulli