Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime-5 y^prime+4 y=8 e^t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 4y = 8e^t
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro encontrar a solução geral da homogênea e depois um particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Resolver a homogênea associada
y'' - 5y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 - 5r + 4 = 0
cuja solução é
r = 1 ou r = 4
Logo, a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = C1e^t + C2e^4t

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp(t) para o termo 8e^t, notamos que e^t já é solução da homogênea. Assim, multiplicamos por t e propomos
yp(t) = A,t,e^t,
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calcular as derivadas de yp:
yp' = A,e^t(t+1),
yp''= A,e^t(t+2)
Substituindo em y'' - 5y' +4y:
yp'' -5yp'+4yp = A,e^t(t+2) -5A,e^t(t+1) +4A,e^tt = A,e^tl[(t+2)-5(t+1)+4tr] = -3A,e^t
Para que isto seja igual a 8e^t precisamos de
-3A = 8 Longrightarrow A = -83

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma de yh com yp:
y(t) = C1e^t + C2e^4t - 83,t,e^t

Resposta

y(t) = C1e^t + C2e^4t - 83,t,e^t

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