1.6G Se
é um número real
, mostre que
. De forma mais geral, você pode demonstrar que se
e
são números reais, então:
Passo 1
O enunciado pede para provar duas identidades algébricas clássicas de somas e fatoração de polinômios. Primeiro vem a soma da progressão geométrica
e, em seguida, a forma mais geral de fatoração
Para isso vamos usar manipulação algébrica e cancelamento telescópico.
Passo 2
Demonstração da identidade geral. Considere o produto
Ao distribuir, obtemos
Note que todos os termos intermediários cancelam em pares, sobrando apenas
Logo
Passo 3
Caso especial da soma geométrica. Basta tomar
e
na identidade geral:
Dividindo ambos os lados por
, com
, obtém-se
Multiplicando numerador e denominador por
reescrevemos
que é a fórmula desejada.