1.6G Se r é um número real neq 1, mostre que 1+r+r^2+ldots+r^n-1=1-r^n1-r. De forma mais geral, você pode demonstrar que se x e y são números reais, então:
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2 y+cdots+x y^n-2+y^n-1), n in N

Passo 1

O enunciado pede para provar duas identidades algébricas clássicas de somas e fatoração de polinômios. Primeiro vem a soma da progressão geométrica
1 + r + r^2 + cdots + r^n-1 = 1 - r^n1 - r, rneq 1,
e, em seguida, a forma mais geral de fatoração
x^n - y^n = (x - y)l(x^n-1 + x^n-2y + cdots + x y^n-2 + y^n-1r)
Para isso vamos usar manipulação algébrica e cancelamento telescópico.

Passo 2

Demonstração da identidade geral. Considere o produto
(x - y)sumk=0^n-1 x^,n-1-ky^k
Ao distribuir, obtemos
sumk=0^n-1l(x^,n-ky^k - x^,n-1-ky^,k+1r) = l(x^n - x^n-1yr) + l(x^n-1y - x^n-2y^2r) + cdots + l(xy^,n-1 - y^nr)
Note que todos os termos intermediários cancelam em pares, sobrando apenas
x^n - y^n
Logo
x^n - y^n = (x - y)l(x^n-1 + x^n-2y + cdots + y^n-1r)

Passo 3

Caso especial da soma geométrica. Basta tomar y=1 e x=r na identidade geral:
r^n - 1 = (r - 1)l(r^n-1 + r^n-2 + cdots + 1r)
Dividindo ambos os lados por (r-1), com rneq 1, obtém-se
1 + r + r^2 + cdots + r^n-1 = r^n - 1r - 1
Multiplicando numerador e denominador por -1 reescrevemos
r^n - 1r - 1 = 1 - r^n1 - r,
que é a fórmula desejada.

Resposta

1 + r + r^2 + cdots + r^n-1 = 1 - r^n1 - r, rneq 1,
x^n - y^n = (x - y)l(x^n-1 + x^n-2y + cdots + x y^n-2 + y^n-1r)

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