Exercício 1. Resolva pelo método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
Resumimos o enunciado: queremos resolver a equação diferencial de segunda ordem.
com condições iniciais
e
.
O método a usar é o dos coeficientes a determinar, em que achamos primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
O método a usar é o dos coeficientes a determinar, em que achamos primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Determinamos a solução da equação homogênea
A equação característica é
cuja raízes são
. Logo
Passo 3
Como o termo não homogêneo
coincide com a solução da homogênea, há ressonância. Portanto, escolhemos o ansatz
Passo 4
Calculamos derivadas e substituímos em
.
Derivando:
Derivando:
Então
que deve ser igual a
. Comparando coeficientes:
Logo
Passo 5
A solução geral é
Impondo
dá
.
Derivando
Derivando
e usando
resulta
, isto é
.