Exercício 1. Resolva pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime+4 y=cos 2 x, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos resolver a equação diferencial de segunda ordem.
y'' + 4y = cos(2x),
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
O método a usar é o dos coeficientes a determinar, em que achamos primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Determinamos a solução da equação homogênea
y'' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4 = 0,
cuja raízes são r=pm2i. Logo
yh = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Passo 3

Como o termo não homogêneo cos(2x) coincide com a solução da homogênea, há ressonância. Portanto, escolhemos o ansatz
yp = xl(Acos(2x) + Bsin(2x)r)

Passo 4

Calculamos derivadas e substituímos em y''+4y=cos(2x).
Derivando:
yp' = Acos(2x)+Bsin(2x) + xl(-2Asin(2x)+2Bcos(2x)r),
yp'' = -4Asin(2x)+4Bcos(2x) + xl(-4Acos(2x)-4Bsin(2x)r)
Então
yp'' + 4yp = -4Asin(2x)+4Bcos(2x),
que deve ser igual a cos(2x). Comparando coeficientes:
4B = 1, -4A = 0 Longrightarrow A=0,;B=tfrac14
Logo
yp = tfrac14,xsin(2x)

Passo 5

A solução geral é
y = yh + yp = C1cos(2x) + C2sin(2x) + tfrac14,xsin(2x)
Impondo y(0)=0 C1=0.
Derivando
y' = -2C1sin(2x)+2C2cos(2x) + tfrac14sin(2x)+tfrac12,xcos(2x),
e usando y'(0)=0 resulta 2C2=0, isto é C2=0.

Resposta

y(x) = tfrac14,xsin(2x)

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