Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
8 y^prime prime+2 y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
8,y'' + 2,y' - y = 0
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados na forma exponencial, ou seja, vamos tentar uma solução do tipo y=e^r x.

Passo 2

Assumindo
y = e^r x,
temos
y' = r,e^r x, y'' = r^2,e^r x

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' na equação original, vem
8(r^2 e^r x) + 2(r e^r x) - (e^r x) = 0
Como e^r xneq0, podemos dividir tudo por e^r x e obter a equação característica
8r^2 + 2r - 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a quadrática
8r^2 + 2r - 1 = 0,
calculamos o discriminante
De<a = 2^2 - 4cdot8cdot(-1) = 4 + 32 = 36,
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r = -2 pm raiz362cdot8 = -2 pm 616
Isso dá as raízes
r1 = -2 + 616 = 416 = tfrac14, r2 = -2 - 616 = -816 = -tfrac12

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1,e^r1x + C2,e^r2x = C1,e^tfracx4 + C2,e^-tfracx2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1,e^tfracx4 + C2,e^-tfracx2

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