1.6H Mostre que 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n) >= 12 n, forall n in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para todo ninN, que
1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n) ;>=;12n
Esse tipo de desigualdade com produto de termos consecutivos pares e ímpares costuma ser resolvido por indução matemática.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
12 ;=;1cdot(2cdot1-1)2cdot1 ;=;1cdot12;=;12 ;>=;12cdot1=12
Logo, a desigualdade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k>=1 valha
1cdot3cdots(2k-1)2cdot4cdots(2k) ;>=;12k
Queremos provar que então
1cdot3cdots(2k-1)cdot(2k+1)2cdot4cdots(2k)cdot(2k+2) ;>=;12(k+1)

Passo 4

A razão entre o caso k+1 e o caso k é
1cdot3cdots(2k-1)cdot(2k+1)2cdot4cdots(2k)cdot(2k+2) ;=;1cdot3cdots(2k-1)2cdot4cdots(2k);times;2k+12k+2
Pela hipótese indutiva, isso é
>=;12k;times;2k+12k+2 ;=;2k+12k,(2k+2)
Basta agora comparar 2k+12k,(2k+2) com 12(k+1)=12k+2. Temos
2k+12k,(2k+2);>=;12k+2 Long<=ftrightarrow 2k+1;>=;2k,
o que é verdadeiro. Logo, o passo de indução está completo.

Resposta

Portanto, por indução,
1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n);>=;12n forall,ninN

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