Considere f definida por f(x)=r-x, para x <= 0 2, para x>0.
a) Calcule f^prime(-1)
b) Existem f-^prime(0) e f+^prime(0) ?
c) f é derivável em x=0 ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= -x, & x<=0, 2, & x>0
Queremos (a) a derivada em x=-1, (b) as derivadas laterais em x=0 e (c) verificar se f é derivável em 0. Vamos usar a definição de derivada e de derivada lateral.

Passo 2

Para x<0 a função vale f(x)=-x, que é uma função polinomial cujo coeficiente angular é constante. Logo, para todo x<0 incluindo x=-1,
f'(x)=ddx(-x)=-1
Em particular,
f'(-1)=-1

Passo 3

Vamos calcular
f'-(0)=limhto0^-f(0+h)-f(0)h
Como h<0, usa-se o ramo f(x)=-x, e f(0)=-0=0. Então
f(h)-f(0)h=-h-0h=-1
para todo hneq0, logo
f'-(0)=-1

Passo 4

Agora
f'+(0)=limhto0^+f(0+h)-f(0)h
Para h>0 vale f(h)=2 e ainda f(0)=0. Assim
f(h)-f(0)h=2-0h=2h,
que não tem limite finito quando hto0^+. Portanto
f'+(0) não existe (é infinito) ãé

Resposta

a) f'(-1)=-1
b) f'-(0)=-1 e f'+(0) não existe
c) Não, f não é derivável em x=0 (as derivadas laterais não coincidem)

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