Exercício 1. Resolva pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=2 x e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 2x e^3x
pelo método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular para o termo não homogêneo 2x e^3x.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' - 3y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0,
cuja solução é
r = 3 ou r = -1
Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 3

Para o particular, como o termo forçante é 2x e^3x e e^3x já aparece na homogênea (raiz simples r=3), multiplicamos por x. A forma tentativa é
yp = (A x^2 + Bx),e^3x

Passo 4

Calculamos yp' e yp''. Seja u(x)=A x^2 + Bx. Então
yp = u,e^3x, yp' = (u' + 3u),e^3x, yp'' = (u'' + 6u' + 9u),e^3x
Como u'=2Ax+B e u''=2A, obtemos
yp' = l(3A x^2 + (2A+3B)x + Br)e^3x,
yp'' = l(9A x^2 + (12A+9B)x + (2A+6B)r)e^3x
Substituindo em y''-2y'-3y
l(8A x + (2A+4B)r)e^3x
e isso deve ser igual a 2x e^3x.

Passo 5

Comparando coeficientes de x e termo constante em
(8A x + 2A+4B)e^3x = (2x + 0)e^3x,
temos
8A = 2 Longrightarrow A = tfrac14,
2A + 4B = 0 Longrightarrow 2cdottfrac14 + 4B = 0 Longrightarrow B = -tfrac18
Logo
yp = l(tfrac14 x^2 - tfrac18 xr)e^3x

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x + l(tfrac14 x^2 - tfrac18 xr)e^3x

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