Por decomposição em soma de frações parciais, mostre que: ;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
integral 1x^2-a^2,dx
por meio de decomposição em frações parciais. O conteúdo aqui é fatorar o denominador, escrever a fração como soma de termos simples e depois integrar cada um.
Passo 2
Observe que
x^2-a^2=(x - a)(x + a)
Assumimos então a forma
1x^2-a^2 =Ax - a+Bx + a
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
Agrupando termos em e constantes:
Comparando coeficientes surge o sistema
Da primeira equação (B = -A]. Substituindo na segunda:
Passo 4
Substituindo A e B na integral:
integral 1x^2-a^2,dx = integral l(12a,1x - a -12a,1x + ar),dx = 12aintegral 1x - a,dx -12aintegral 1x + a,dx
Passo 5
Integramos cada termo usando integral1u,du = ln|u|:
integral 1x - a,dx = ln|x - a|, integral 1x + a,dx = ln|x + a|
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integral 1x^2-a^2,dx = 12al(ln|x - a| - ln|x + a|r) + K