Por decomposição em soma de frações parciais, mostre que:
integral 1x^2-a^2 d x=12 a ln |x-ax+a|+K;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x^2-a^2,dx
por meio de decomposição em frações parciais. O conteúdo aqui é fatorar o denominador, escrever a fração como soma de termos simples e depois integrar cada um.

Passo 2

Observe que
x^2-a^2=(x - a)(x + a)
Assumimos então a forma
1x^2-a^2 =Ax - a+Bx + a

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por
Agrupando termos em e constantes:
Comparando coeficientes surge o sistema
Da primeira equação (B = -A]. Substituindo na segunda:

Passo 4

Substituindo A e B na integral:
integral 1x^2-a^2,dx = integral l(12a,1x - a -12a,1x + ar),dx = 12aintegral 1x - a,dx -12aintegral 1x + a,dx

Passo 5

Integramos cada termo usando integral1u,du = ln|u|:
integral 1x - a,dx = ln|x - a|, integral 1x + a,dx = ln|x + a|
Logo
integral 1x^2-a^2,dx = 12al(ln|x - a| - ln|x + a|r) + K

Passo 6

Utilizando a propriedade dos logaritmos
ln|x - a| - ln|x + a| = lnl|x - ax + ar|,
concluímos que
integral 1x^2-a^2,dx = 12a,lnl|x - ax + ar| + K

Resposta

12a,lnl|x - ax + ar| + K

Exercícios relacionados