1.6I Mostre que lim x infty x(ln x)^n=infty, forall n=0,1,2,3, ldots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para cada inteiro n>=0,
limxtoinftyx(ln x)^n=infty
O conteúdo principal aqui é entender que temos uma forma indeterminada infty/infty (quando n>=1) e aplicar a Regra de L’Hôpital para reduzir a potência de ln x.

Passo 2

Para n=0 o quociente fica
x(ln x)^0=x1=x,
e obviamente
limxtoinftyx=infty
Logo o resultado vale para n=0.

Passo 3

Suponha agora n>=1. Ao fazermos xtoinfty temos a forma infty/infty, pois xtoinfty e (ln x)^ntoinfty. Pela Regra de L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador, obtemos
limxtoinftyx(ln x)^n =limxtoinftyddx[,x,]ddx[(ln x)^n] =limxtoinfty1n(ln x)^n-1,1x =limxtoinftyxn,(ln x)^,n-1 =1n;limxtoinftyx(ln x)^,n-1

Passo 4

O resultado do passo anterior dá uma relação de redução de expoente:
limxtoinftyx(ln x)^n =1n;limxtoinftyx(ln x)^n-1
Aplicando esse mesmo argumento mais n vezes, reduzimos o expoente de n até chegar em 0. Assim
limxtoinftyx(ln x)^n =1n!,limxtoinftyx =1n!,infty =infty

Resposta

infty

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