Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+9 y=9 sec ^2 t 0<t<pi6

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''+9y=9sec^2 t, 0<t<pi6
Aqui o conteúdo é solução de ODE lineares com coeficientes constantes e termo não homogêneo, usando o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''+9y=0
A equação característica é r^2+9=0, cujas raízes são r=pm3i. Logo a solução geral homogênea é
yh=C1cos(3t)+C2sin(3t)

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais
u1(t)=cos(3t), u2(t)=sin(3t)
e calculamos o wronskiano
W(t)= u1 & u2 u1'&u2' =cos(3t)cdot(3cos(3t))-!(-3sin(3t))!cdotsin(3t) =3l(cos^2(3t)+sin^2(3t)r)=3

Passo 4

A variação de parâmetros dá uma particular yp=-u1!integralu2,gW,dt+u2!integralu1,gW,dt, onde g(t)=9sec^2t. Assim definimos as integrais
I1=integralu2(t),g(t)W,dt =integralsin(3t)cdot9sec^2t3,dt =3integralsin(3t)sec^2t,dt,
I2=integralu1(t),g(t)W,dt =integralcos(3t)cdot9sec^2t3,dt =3integralcos(3t)sec^2t,dt

Passo 5

Calculamos I1. Usando sin(3t)=3sin t-4sin^3t e sec^2t=1/cos^2t, chega-se a
I1 =3integralsin(3t)cos^2t,dt =3integrall(3tan tsec t-4sin t(sec^2t-1)r),dt =9sec t-12sec t-12cos t =-3sec t-12cos t

Passo 6

Para I2, escrevemos cos(3t)=4cos^3t-3cos t e obtemos
I2 =3integralcos(3t)cos^2t,dt =3integral(4cos t-3sec t),dt =12sin t-9integralsec t,dt =12sin t-9lnl|sec t+tan tr|

Passo 7

Então a solução particular é
yp=-u1,I1+u2,I2 =-cos(3t)l(-3sec t-12cos tr) +sin(3t)l(12sin t-9ln(sec t+tan t)r)
Expandindo e usando identidades, chega-se a
yp=18cos(2t)-3-9sin(3t)lnl(sec t+tan tr)

Passo 8

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular, ou seja
boxed,y(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)+18cos(2t)-3-9sin(3t)lnl(sec t+tan tr),

Resposta

y(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)+18cos(2t)-3-9sin(3t)lnl(sec t+tan tr)

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