Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
Aqui o conteúdo é solução de ODE lineares com coeficientes constantes e termo não homogêneo, usando o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais
e calculamos o wronskiano
Passo 4
A variação de parâmetros dá uma particular
yp=-u1!integralu2,gW,dt+u2!integralu1,gW,dt , onde
g(t)=9sec^2t . Assim definimos as integrais
Passo 5
Calculamos
I1 . Usando
sin(3t)=3sin t-4sin^3t e
sec^2t=1/cos^2t , chega-se a
Passo 6
Para
I2 , escrevemos
cos(3t)=4cos^3t-3cos t e obtemos
Passo 7
Então a solução particular é
Expandindo e usando identidades, chega-se a
Passo 8
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular, ou seja