1.6J Uma seqüência bn é definida por: b1=-1 e bn=(1-n) bn-1n^2, n >= 2. Use o Método de Indução Finita e prove que bn=(-1)^nn ! n.

Passo 1

O enunciado define a sequência bn por b1 = -1 e, para n>=2,
bn = (1-n),bn-1n^2
Queremos, usando indução finita, mostrar que
bn = (-1)^nn!,n

Passo 2

Verificamos o caso base n=1.
Pela definição, b1 = -1.
Na fórmula candidata, temos
(-1)^11!,1 = -1,
logo coincide com b1.

Passo 3

Suponha, como hipótese de indução, que para algum k>=1 valha
bk = (-1)^kk!,k
Vamos mostrar que
bk+1 = (-1)^k+1(k+1)!,(k+1)
Pela recorrência,
bk+1 = 1-(k+1)(k+1)^2,bk = -k(k+1)^2,bk
Substituindo a hipótese de indução,
bk+1 = -k(k+1)^2 cdot (-1)^kk!,k = (-1)^k+1k!,(k+1)^2 = (-1)^k+1(k+1)!,(k+1),
pois (k+1)!,(k+1)=k!,(k+1)^2. Assim, a fórmula é válida para k+1.

Resposta

Pela base e pelo passo indutivo, concluímos que, para todo n>=1,
bn = (-1)^nn!,n

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