1.6J Uma seqüência
é definida por:
e
. Use o Método de Indução Finita e prove que
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e, para
,
Queremos, usando indução finita, mostrar que
Passo 2
Verificamos o caso base
.
Pela definição, .
Na fórmula candidata, temos
Pela definição,
Na fórmula candidata, temos
logo coincide com
.
Passo 3
Suponha, como hipótese de indução, que para algum
valha
Vamos mostrar que
Pela recorrência,
Substituindo a hipótese de indução,
pois
. Assim, a fórmula é válida para
.
Resposta
Pela base e pelo passo indutivo, concluímos que, para todo
,