Q 34 Resolva as integrais das funções racionais.
integral 1(x^2-2 x+1)(x-2) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
integral 1l(x^2-2x+1r),(x-2),dx
Repare que x^2-2x+1=(x-1)^2. Para integrar, vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Assumimos a forma
1(x-1)^2(x-2) =Ax-2+Bx-1+C(x-1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2(x-2), obtemos
1=A,(x-1)^2+B,(x-1)(x-2)+C,(x-2)

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de
Comparando coeficientes com , temos o sistema
Da primeira equação (B=-A]. Substituindo nas demais:
Logo , , .

Passo 4

Substituindo na decomposição:
1(x-1)^2(x-2) =1x-2-1x-1-1(x-1)^2
A integral fica
integraldxx-2-integraldxx-1-integraldx(x-1)^2
Integramos cada termo:
integraldxx-2=lnl|x-2r|, integraldxx-1=lnl|x-1r|, integraldx(x-1)^2 =-1x-1
Atente ao sinal: há um menos na fração parcial, e outro ao integrar o último termo.

Resposta

lnl|x-2r|-lnl|x-1r|+1x-1+C
ou, de forma condensada,
ln|x-2x-1|+1x-1+C

Exercícios relacionados