3.6K Considere a função f: R R definida por:
f(x)=l exp (-1 / x^2), se x neq 0 0, se x=0
Use indução e mostre que f^(n)(0)=0, forall n=0,1,2,3, ldots A função f não pode ser representada por uma Série de Maclaurin numa vizinhança de x=0 ? É a função f analítica em x=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= expl(-1/x^2r),&xneq0, 0,&x=0,
e pede para mostrar por indução que ,f^(n)(0)=0 para todo n>=0, depois perguntar se a Série de Maclaurin de f representa f perto de 0 e se f é analítica em 0. Vamos usar o fato clássico de que para xneq0 cada derivada de ordem n tem a forma
f^(n)(x)=Pnl(1/xr),e^-1/x^2,
onde Pn é um polinômio, e que e^-1/x^2 tende a zero mais rápido que qualquer potência de x quando xto0.

Passo 2

Base da indução ( n=0 e n=1):
  • Para n=0 temos f(0)=0 por definição.
  • Para n=1, a derivada em 0 é
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h =limhto0e^-1/h^2h
Como e^-1/h^2 decai mais rápido que qualquer potência de h, esse quociente vai a zero. Logo f'(0)=0. Além disso, em xneq0 vale
f'(x)=ddxe^-1/x^2 =2x^3,e^-1/x^2,
o que confirma a forma P1(1/x)e^-1/x^2.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para certo n>=1 já temos
  1. f^(n)(0)=0.
  2. Para xneq0,
f^(n)(x)=Pnl(1/xr),e^-1/x^2,
com Pn polinomial.
Então para xneq0
f^(n+1)(x) =ddxl[Pn(1/x)e^-1/x^2r] =l[-tfrac1x^2Pn'(1/x)+tfrac2x^3Pn(1/x)r]e^-1/x^2 =Pn+1(1/x),e^-1/x^2,
onde Pn+1 é outro polinômio. E em x=0, pela definição de derivada,
f^(n+1)(0) =limhto0f^(n)(h)-f^(n)(0)h =limhto0Pn(1/h)e^-1/h^2h =0,
pois de novo e^-1/h^2 domina qualquer 1/h^m. Assim a propriedade vale para n+1.

Passo 4

Como f^(n)(0)=0 para todo n, os coeficientes da Série de Maclaurin
sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
são todos zero, ou seja, a série é identicamente zero. Mas para xneq0 a função f(x)=e^-1/x^2 não é zero. Logo essa Série de Maclaurin não coincide com f(x) em nenhuma vizinhança de 0 (além de x=0 isoladamente).

Passo 5

Concluímos que, embora f seja infinitamente diferenciável ( C^infty) em R, ela não é analítica em x=0, pois sua série de potências de Maclaurin não reproduz f(x) em torno de 0.

Resposta

  • Para todo n>=0, f^(n)(0)=0.
  • A Série de Maclaurin de f é a série nula e não representa f(x) num entorno de 0.
  • A função f não é analítica em x=0.

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