Use indução e mostre que f^(n)(0)=0, forall n=0,1,2,3, ldots A função f não pode ser representada por uma Série de Maclaurin numa vizinhança de x=0 ? É a função f analítica em x=0 ?
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)= expl(-1/x^2r),&xneq0, 0,&x=0,
e pede para mostrar por indução que ,f^(n)(0)=0 para todo n>=0, depois perguntar se a Série de Maclaurin de f representa f perto de 0 e se f é analítica em 0. Vamos usar o fato clássico de que para xneq0 cada derivada de ordem n tem a forma
f^(n)(x)=Pnl(1/xr),e^-1/x^2,
onde Pn é um polinômio, e que e^-1/x^2 tende a zero mais rápido que qualquer potência de x quando xto0.
Passo 2
Base da indução (n=0 e n=1):
Para n=0 temos f(0)=0 por definição.
Para n=1, a derivada em 0 é
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h =limhto0e^-1/h^2h
Como e^-1/h^2 decai mais rápido que qualquer potência de h, esse quociente vai a zero. Logo f'(0)=0. Além disso, em xneq0 vale
f'(x)=ddxe^-1/x^2 =2x^3,e^-1/x^2,
o que confirma a forma P1(1/x)e^-1/x^2.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para certo n>=1 já temos
pois de novo e^-1/h^2 domina qualquer 1/h^m. Assim a propriedade vale para n+1.
Passo 4
Como f^(n)(0)=0 para todo n, os coeficientes da Série de Maclaurin
sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
são todos zero, ou seja, a série é identicamente zero. Mas para xneq0 a função f(x)=e^-1/x^2 não é zero. Logo essa Série de Maclaurin não coincide com f(x) em nenhuma vizinhança de 0 (além de x=0 isoladamente).
Passo 5
Concluímos que, embora f seja infinitamente diferenciável (C^infty) em R, ela não é analítica em x=0, pois sua série de potências de Maclaurin não reproduz f(x) em torno de 0.
Resposta
Para todo n>=0, f^(n)(0)=0.
A Série de Maclaurin de f é a série nula e não representa f(x) num entorno de 0.