Exercício 13. (F. 3.5, ex.7) Ache os autovalores e as autofunções normalizadas para o problema
,
em
?
Passo 1
O problema é encontrar as funções não-triviais
e os valores
tais que
com as condições de contorno
Este é um problema de Sturm–Liouville. Vamos ver para quais
existem soluções não-triviais.
Passo 2
Testamos
.
- Se
, a solução geral de é . Em vem , logo . A condição em dá e , e implica . Só solução trivial. - Se
, a solução é . Em obtemos , logo . A condição em leva a , mas para ambos termos são positivos, impossibilitando não-trivial.
Conclusão: não há autovalores não-triviais para
.
Passo 3
Logo
. Escreva
com
. A solução geral de
é
Da condição
vem
, então
Passo 4
A condição em
é
e impõe
Para
segue a equação característica
Sejam
as infinitas raízes desta equação, ordenadas crescentemente. Então os autovalores são
Passo 5
Os autovalores são
, onde
satisfaz
.
Os autovetores (antes da normalização) são
Os autovetores (antes da normalização) são
Passo 6
Para normalizar
, calculamos
Logo a função normalizada é
Resposta
Os autovalores e autofunções normalizadas são
onde
é o
-ésimo solucionador de
.