Exercício 13. (F. 3.5, ex.7) Ache os autovalores e as autofunções normalizadas para o problema f^prime prime+lambda f=0, f(0)=0, f^prime(1)=-f(1) em [0, l] ?

Passo 1

O problema é encontrar as funções não-triviais f e os valores lambda tais que
f''(x)+lambda f(x)=0, xin[0,1],
com as condições de contorno
f(0)=0, f'(1)=-f(1)
Este é um problema de Sturm–Liouville. Vamos ver para quais lambda existem soluções não-triviais.

Passo 2

Testamos lambda<= 0.
  • Se lambda=0, a solução geral de f''=0 é f(x)=Ax+B. Em x=0 vem B=0, logo f(x)=Ax. A condição em x=1 f'(1)=A e f(1)=A, e A = -A implica A=0. Só solução trivial.
  • Se lambda=-mu^2<0, a solução é f(x)=A e^mu x+B e^-mu x. Em x=0 obtemos A+B=0, logo f(x)=2Asinh(mu x). A condição em x=1 leva a mucoshmu +sinhmu=0, mas para mu>0 ambos termos são positivos, impossibilitando não-trivial.
Conclusão: não há autovalores não-triviais para lambda<= 0.

Passo 3

Logo lambda>0. Escreva lambda=k^2 com k>0. A solução geral de
f''+k^2f=0
é
f(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)
Da condição f(0)=0 vem B=0, então
f(x)=Asin(kx)

Passo 4

A condição em x=1 é
f'(1)=A,kcos(k), f(1)=Asin(k),
e impõe
A,kcos(k)=-Asin(k)
Para Aneq0 segue a equação característica
kcos(k)+sin(k)=0 Long<=ftrightarrow tan(k)=-,k
Sejam kn>0 as infinitas raízes desta equação, ordenadas crescentemente. Então os autovalores são
lambdan = kn^2, n=1,2,dots

Passo 5

Os autovalores são lambdan=kn^2, onde kn satisfaz tan(kn)=-kn.
Os autovetores (antes da normalização) são
fn(x)=sin(kn x)

Passo 6

Para normalizar fn, calculamos
integral0^1sin^2(kn x),dx =12l[1-sin(2kn)2knr]
Logo a função normalizada é
phin(x) =sin(kn x)raiz12l[1-sin(2kn)2knr]

Resposta

Os autovalores e autofunções normalizadas são
lambdan = kn^2, phin(x)=sin(kn x)raiztfrac12l(1-tfracsin(2kn)2knr),
onde kn>0 é o n-ésimo solucionador de tan(k)=-k.

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