(2,0) Disserte sobre o tema Teorema Cayley-Hamilton. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
Autovalores e autovetores,
Polinômio característico e polinômio minimal,
Teorema Cayley-Hamilton.
Passo 1
O enunciado pede uma dissertação sobre o Teorema de Cayley–Hamilton, abordando três tópicos principais: definição de autovalores e autovetores, polinômio característico e polinômio minimal, e finalmente o enunciado e ideia de prova do próprio Teorema de Cayley–Hamilton. Para organizar a resposta, primeiro damos as definições, depois conectamos esses conceitos ao polinômio característico e minimal, e por fim apresentamos o Teorema com um esboço de demonstração e suas aplicações.
Passo 2
Autovalores e autovetores são fundamentais para entender o comportamento de uma transformação linear. Seja uma matriz quadrada . Dizemos que é um autovalor de se existir tal que
Nesse caso, o vetor não-nulo é chamado de autovetor associado a . Para obter os autovalores resolvemos a equação
cuja solução em fornece todos os autovalores (com multiplicidades algébricas).
Passo 3
O polinômio característico de é o polinômio monico de grau definido por
Ele se expande como
e as raízes de são exatamente os autovalores de .
O polinômio minimal de , denotado , é o polinômio monico de menor grau tal que
Ele divide e suas raízes são exatamente os autovalores de , porém com multiplicidade igual à maior das multiplicidades em cada bloco de Jordan.
Passo 4
O Teorema de Cayley–Hamilton afirma que toda matriz quadrada satisfaz seu próprio polinômio característico. Em notação,
Esboço de prova (via adjunta): considere a identidade clássica de matrizes
Aqui é a matriz adjunta (matriz de cofatores transposta). Cada entrada de é um polinômio em de grau . Se fizermos nessa identidade—isto é, substituir formalmente o escalar pela matriz —o fator anula o lado esquerdo e deixa
o que mostra que .
Passo 5
Consequências e aplicações:
Qualquer potência de pode ser reduzida a combinações das potências até , usando .
O polinômio minimal divide e dá o grau menor para expressar identicamente zero, sendo crucial na teoria de decomposição de Jordan e no cálculo de funções de matriz .
Em especial, se tiver raízes distintas, é diagonalizável, pois também terá todas as raízes simples.
Resposta
O Teorema de Cayley–Hamilton garante que, para toda matriz quadrada , vale
Isso nasce da relação entre autovalores/autovetores, do papel do polinômio característico e minimal, e fornece uma ferramenta poderosa para manipular e entender as propriedades algébricas de A.