(2,0) Disserte sobre o tema Teorema Cayley-Hamilton. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
  • Autovalores e autovetores,
  • Polinômio característico e polinômio minimal,
  • Teorema Cayley-Hamilton.

Passo 1

O enunciado pede uma dissertação sobre o Teorema de Cayley–Hamilton, abordando três tópicos principais: definição de autovalores e autovetores, polinômio característico e polinômio minimal, e finalmente o enunciado e ideia de prova do próprio Teorema de Cayley–Hamilton. Para organizar a resposta, primeiro damos as definições, depois conectamos esses conceitos ao polinômio característico e minimal, e por fim apresentamos o Teorema com um esboço de demonstração e suas aplicações.

Passo 2

Autovalores e autovetores são fundamentais para entender o comportamento de uma transformação linear. Seja uma matriz quadrada AinC^ntimes n. Dizemos que lambdainC é um autovalor de A se existir vneq 0 tal que
A,v = lambda,v
Nesse caso, o vetor não-nulo v é chamado de autovetor associado a lambda. Para obter os autovalores resolvemos a equação
detl(A - lambda Ir)=0,
cuja solução em lambda fornece todos os autovalores (com multiplicidades algébricas).

Passo 3

O polinômio característico de A é o polinômio monico de grau n definido por
pA(lambda) = detl(A - lambda Ir)
Ele se expande como
pA(lambda)=(-1)^nlambda^n + cn-1lambda^n-1 + cdots + c1lambda + c0,
e as raízes de pA são exatamente os autovalores de A.
O polinômio minimal de A, denotado muA(lambda), é o polinômio monico de menor grau tal que
muA(A)=0
Ele divide pA(lambda) e suas raízes são exatamente os autovalores de A, porém com multiplicidade igual à maior das multiplicidades em cada bloco de Jordan.

Passo 4

O Teorema de Cayley–Hamilton afirma que toda matriz quadrada satisfaz seu próprio polinômio característico. Em notação,
pA(A)=0
Esboço de prova (via adjunta): considere a identidade clássica de matrizes
adj(A - lambda I),l(A - lambda Ir) = detl(A - lambda Ir),I
Aqui adj é a matriz adjunta (matriz de cofatores transposta). Cada entrada de adj(A - lambda I) é um polinômio em lambda de grau n-1. Se fizermos lambdamapsto A nessa identidade—isto é, substituir formalmente o escalar lambda pela matriz A—o fator l(A - Ar) anula o lado esquerdo e deixa
0 = pA(A),I,
o que mostra que pA(A)=0.

Passo 5

Consequências e aplicações:
  1. Qualquer potência de A pode ser reduzida a combinações das potências até A^n-1, usando pA(A)=0.
  2. O polinômio minimal muA divide pA e dá o grau menor para expressar identicamente zero, sendo crucial na teoria de decomposição de Jordan e no cálculo de funções de matriz f(A).
  3. Em especial, se pA tiver n raízes distintas, A é diagonalizável, pois muA também terá todas as raízes simples.

Resposta

O Teorema de Cayley–Hamilton garante que, para toda matriz quadrada A, vale
pA(A)=detl(A - lambda Ir)llvertlambda=A=0
Isso nasce da relação entre autovalores/autovetores, do papel do polinômio característico e minimal, e fornece uma ferramenta poderosa para manipular e entender as propriedades algébricas de A.

Exercícios relacionados