1.6K Considere a seqüência de Fibonacci: a1=1, a2=1 e an=an-1+an-2, para n >= 3. Mostre que
an=12^n raiz5[(1+raiz5)^n-(1-raiz5)^n]

Passo 1

O enunciado define a sequência de Fibonacci por
a1=1, a2=1, an=an-1+an-2(n>=3)
e pede para mostrar a fórmula fechada
an=12^nraiz5l[(1+raiz5)^n-(1-raiz5)^nr]
Este é um caso de recorrência linear de segunda ordem com coeficientes constantes, então vamos usar o método das raízes da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a recorrência na forma homogênea
an-an-1-an-2=0
e associamos a ela a equação característica
r^2-r-1=0
As raízes dessa equação são, pela fórmula de Bhaskara,
r1=1+raiz52, r2=1-raiz52

Passo 3

A solução geral da recorrência é da forma
an=A,(r1)^n+B,(r2)^n,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais a1=1 e a2=1.

Passo 4

Impondo
Note que . Logo esses valores de e satisfazem as condições iniciais.

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, temos
an =(r1)^n-(r2)^nraiz5 =1raiz5l[l(tfrac1+raiz52r)^n-l(tfrac1-raiz52r)^nr]
Fatorando 2^-n em cada potência, chega-se à forma pedida:
an =12^nraiz5l[(1+raiz5)^n-(1-raiz5)^nr]

Resposta

an =12^nraiz5l[(1+raiz5)^n-(1-raiz5)^nr]

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