1.6K Considere a seqüência de Fibonacci:
e
, para
. Mostre que
Passo 1
O enunciado define a sequência de Fibonacci por
e pede para mostrar a fórmula fechada
Este é um caso de recorrência linear de segunda ordem com coeficientes constantes, então vamos usar o método das raízes da equação característica.
Passo 2
Escrevemos a recorrência na forma homogênea
e associamos a ela a equação característica
As raízes dessa equação são, pela fórmula de Bhaskara,
Passo 3
A solução geral da recorrência é da forma
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais
e
.
Passo 4
Impondo
Note que . Logo esses valores de
e
satisfazem as condições iniciais.
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, temos
Fatorando
em cada potência, chega-se à forma pedida: