Suponhamos que uma massa de 10 lb ( cerca de 4,5 kg ) estica uma mola de 2 in ( cerca de 5 cm ). Se a massa for deslocada duas polegadas a mais e depois colocada em movimento com uma velocidade inicial apontando para cima de 1 ft / s ( cerca de 30 cm / s ), determine a posição da massa em qualquer instante posterior. Determine, também, o periodo, a amplitude e a fase do movimento.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola sem amortecimento em que uma massa de 10 lb estica a mola 2 in em equilíbrio. Precisamos modelar o movimento livre usando a equação de oscilações harmônicas simples, encontrar a posição x(t), e a partir daí determinar período, amplitude e fase do movimento.

Passo 2

Primeiro passamos tudo para o mesmo sistema de unidades (pés e segundos).
A massa em slugs é
m=pesog=10 lb32 ft/s^2=1032 slug=516 slug
A constante elástica em lb/ft é
k=pesodeformação=10 lb2 intimes12 inft=5times12=60 lb/ft çã

Passo 3

A equação do movimento livre é
m,x''+k,x=0,
logo
x''+km,x=0 com km=605/16=60cdot165=192
Definindo omega0^2=192, temos
omega0=raiz192=8raiz3 rad/s

Passo 4

A solução geral é
x(t)=C1cos(omega0t)+C2sin(omega0t)
Convertendo a condição inicial de deslocamento de 2 in para pés:
,x(0)=tfrac212=tfrac16 ft e a velocidade inicial é x'(0)=1 ft/s.
Impondo x(0)=C1=tfrac16 e
x'(t)=-C1omega0sin(omega0t)+C2omega0cos(omega0t)
x'(0)=C2,omega0=1, ou seja
C2=1omega0=18raiz3

Passo 5

Substituindo C1 e C2, a posição é
x(t)=16cosl(8raiz3,tr) +18raiz3sinl(8raiz3,tr)

Passo 6

Amplitude A e fase phi em
;x(t)=Acosl(omega0t-phir):
A=raizC1^2+C2^2 =raiz136+1(8raiz3)^2 =raiz136+1192 =raiz1924 ft
(ou tfracraiz192 in).
phi=arctan!l(C2C1r) =arctan!l(1/(8raiz3)1/6r) =arctan!l(68raiz3r)
O período é
T=2piomega0 =2pi8raiz3 =pi4raiz3 =piraiz312 s

Resposta

Posição:
x(t)=16cosl(8raiz3,tr) +18raiz3sinl(8raiz3,tr)(em pés) é
Amplitude:
A=raiz1924 ft (approx2,18 in)
Período:
T=2pi8raiz3=piraiz312 s
Fase:
phi=arctan!l(tfrac68raiz3r) rad

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