1.6L Considere a seqüência an=n(n+1) ! e mostre por indução que
a1+a2+a3+ldots+an=1-1(n+1) !

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = n(n+1)!
e pede para provar, por indução matemática, que
a1 + a2 + cdots + an = 1 - 1(n+1)!
O conteúdo é o princípio de indução e manipulação algébrica de frações envolvendo fatoriais.

Passo 2

Base da indução ( n=1). Temos
a1 = 12! = 12,
e o lado direito é
1 - 1(1+1)! = 1 - 12! = 1 - 12 = 12
Logo a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum k>=1, seja válida
a1 + a2 + cdots + ak = 1 - 1(k+1)!

Passo 4

Passo indutivo: calcular a soma até k+1. Temos
sumi=1^k+1 ai = l(a1 + cdots + akr) + ak+1
Pela hipótese de indução,
sumi=1^k+1 ai = l(1 - 1(k+1)!r) + k+1(k+2)!
Agora note que
1(k+1)! = k+2(k+2)!,
pois (k+2)!=(k+2),(k+1)!. Substituindo,
sumi=1^k+1 ai = 1 - k+2(k+2)! + k+1(k+2)! = 1 - (k+2)-(k+1)(k+2)! = 1 - 1(k+2)!
Assim a fórmula vale para n=k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, como a fórmula vale para n=1 e de n=k implica n=k+1, concluímos que é verdadeira para todo inteiro n>=1.

Resposta

a1 + a2 + cdots + an = 1 - 1(n+1)!

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