Exercício 3. Considere oscilações forçadas descritas pelo P.V.I.
y^prime prime+14 y^prime+2 y=2 cos alpha t, y(0)=0, y^prime(0)=2
(a) Obtenha que a solução é dada por y(t)=yt(t)+ye(t), onde yt(t), chamado parte transiente, satisfaz yt(t) longrightarrow 0, quando t longrightarrow+infty e ye(t), chamada solução estacionária, é periódica. Obtenha a expressão de ye(t).
(b) Reescrevendo a solução estacionária na forma ye(t)=A sen(alpha t+phi), determine a amplitude da solução estacionária.
(c) Determine o valor máximo da amplitude A e a freqüência angular alpha da força externa para a qual ele ocorre. Sugestão: Obtenha a expressão de A=A(alpha) como função de alpha e use as técnicas do Cálculo 1.

Passo 1

O enunciado dá o P.V.I.
y''+14,y'+2y=2cos(alpha t), y(0)=0,;y'(0)=2
e pede que escrevamos a solução como
y(t)=yt(t)+ye(t),
onde yt é a parte transiente (que tende a zero conforme tto+infty) e ye é a solução estacionária periódica. O conteúdo aqui é a resolução de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: basta obter uma solução particular ye para a parte forçada, pois a geral se decompõe em homogênea mais particular.

Passo 2

Para achar a solução estacionária, assumimos uma solução particular da forma
ye(t)=Ccos(alpha t)+Dsin(alpha t)
Então
ye'=-alpha Csin(alpha t)+alpha Dcos(alpha t), ye''=-alpha^2Ccos(alpha t)-alpha^2Dsin(alpha t)
Substituindo em
y''+14 y'+2y=2cos(alpha t)
agrupamos os coeficientes de cos(alpha t) e sin(alpha t).

Passo 3

Seja a=2-alpha^2 e b=tfracalpha4. A substituição gera o sistema linear
a,C + b,D =2, -,b,C + a,D =0
Pela regra de Cramer,
C=2aa^2+b^2, D=2ba^2+b^2

Passo 4

Substituindo em ye obtemos
ye(t) =2a^2+b^2l[acos(alpha t)+bsin(alpha t)r],
com a=2-alpha^2 e b=tfracalpha4. A amplitude A dessa oscilação é
A=raizC^2+D^2 =2raiza^2+b^2 =2raiz(2-alpha^2)^2+(tfracalpha4)^2

Passo 5

Para achar a frequência de ressonância, note que maximizar A é o mesmo que minimizar
D(alpha)=(2-alpha^2)^2+l(alpha4r)^2

Passo 6

Calculamos
D'(alpha) =2(2-alpha^2)(-2alpha)+2l(alpha4r)l(14r) =-4alpha,(2-alpha^2)+alpha8
e igualamos a zero (excluindo alpha=0), obtendo
-4(2-alpha^2)+18=0 ;Longrightarrow; 4alpha^2-8+18=0 ;Longrightarrow; alpha^2=6332 ;Longrightarrow; alphamax=raiz6332

Passo 7

Substituindo alpha^2=63/32 em D(alpha)
Dmin=l(2-6332r)^2+l(raiz63/324r)^2 =11024+63512 =1271024,
logo a amplitude máxima é
Amax =2raiz127/1024 =64raiz127

Resposta

A parte estacionária vale
ye(t) =2l[(2-alpha^2)cos(alpha t)+(alpha/4)sin(alpha t)r] (2-alpha^2)^2+(alpha/4)^2
A amplitude geral é
A(alpha)=2raiz(2-alpha^2)^2+(alpha/4)^2,
que atinge máximo
Amax=64raiz127
quando
alpha=raiz6332

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