Exercício 3. Considere oscilações forçadas descritas pelo P.V.I.
(a) Obtenha que a solução é dada por , onde , chamado parte transiente, satisfaz , quando e , chamada solução estacionária, é periódica. Obtenha a expressão de .
(b) Reescrevendo a solução estacionária na forma , determine a amplitude da solução estacionária.
(c) Determine o valor máximo da amplitude e a freqüência angular da força externa para a qual ele ocorre. Sugestão: Obtenha a expressão de como função de e use as técnicas do Cálculo 1.
Passo 1
O enunciado dá o P.V.I.
e pede que escrevamos a solução como
onde é a parte transiente (que tende a zero conforme ) e é a solução estacionária periódica. O conteúdo aqui é a resolução de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: basta obter uma solução particular para a parte forçada, pois a geral se decompõe em homogênea mais particular.
Passo 2
Para achar a solução estacionária, assumimos uma solução particular da forma
Então
Substituindo em
agrupamos os coeficientes de e .
Passo 3
Seja e . A substituição gera o sistema linear
Pela regra de Cramer,
C=2aa^2+b^2, D=2ba^2+b^2
Passo 4
Substituindo em ye obtemos
ye(t) =2a^2+b^2l[acos(alpha t)+bsin(alpha t)r],
com a=2-alpha^2 e b=tfracalpha4. A amplitude A dessa oscilação é