Prove as seguintes desigualdades:
, para
Sugestão: Em (c) considere
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
, vale
O conteúdo é cálculo de derivadas e uso de monotonía de funções para comparar expressões.
Passo 2
Definimos a função
definida e diferenciável em
. Se mostrarmos que
para
, teremos a desigualdade desejada.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Para
, tem-se
, logo
Isto mostra que
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Como
e
é crescente, segue que
para todo
. Em outras palavras,
Resposta
Não há como resolver a parte (c) pois o enunciado dessa parte não foi fornecido.