Prove as seguintes desigualdades:
raiz1+x<1+12 x, para x>0 Sugestão: Em (c) considere g(x)=tg xx

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo x>0, vale
raiz1+x ;<; 1 + x2
O conteúdo é cálculo de derivadas e uso de monotonía de funções para comparar expressões.

Passo 2

Definimos a função
f(x) ;=; 1 + x2 ;-;raiz1+x,
definida e diferenciável em [0,infty). Se mostrarmos que f(x)>0 para x>0, teremos a desigualdade desejada.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x) =ddxl(1+tfracx2r) -ddxl(raiz1+xr) =12-12raiz1+x =raiz1+x-12raiz1+x
Para x>0, tem-se raiz1+x>1, logo
f'(x)=raiz1+x-12raiz1+x>0
Isto mostra que f é estritamente crescente em [0,infty).

Passo 4

Como
f(0)=1+02-raiz1+0=0
e f é crescente, segue que f(x)>f(0)=0 para todo x>0. Em outras palavras,
1+x2-raiz1+x>0 Longrightarrow raiz1+x<1+x2

Resposta

boxedraiz1+x<1+x2,forall,x>0
Não há como resolver a parte (c) pois o enunciado dessa parte não foi fornecido.

Exercícios relacionados