3.6L Suponha que uma função par tenha representação em série de potências
. Mostre que os coeficientes
. E se a função fosse ímpar?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função par
que, num entorno de zero, pode ser escrita como série de potências
Como
é par, vale a relação
para todo
. Vamos usar essa propriedade e comparar os coeficientes da série.
Passo 2
Escrevendo
pela série, temos
Pela paridade, isso deve ser igual a
Logo,
Passo 3
Como duas séries de potências que coincidem em um intervalo implicam igualdade de cada coeficiente, para todo
vale
Se
é ímpar,
, então obrigatoriamente
. Como números ímpares são da forma
, segue
Agora sobra só termos de ordem par na série.
Passo 4
Se em vez de par a função fosse ímpar, teríamos
ou seja,
que leva a
Agora, se
é par,
, logo
para todo
par.
Resposta
Para função par:
Para função ímpar: