3.6L Suponha que uma função par tenha representação em série de potências sumn=0^infty cn x^n. Mostre que os coeficientes c2 n-1=0, forall n=1,2,3, ldots. E se a função fosse ímpar?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função par f que, num entorno de zero, pode ser escrita como série de potências
f(x)=sumn=0^inftycnx^n
Como f é par, vale a relação
f(-x)=f(x)
para todo x. Vamos usar essa propriedade e comparar os coeficientes da série.

Passo 2

Escrevendo f(-x) pela série, temos
f(-x)=sumn=0^inftycn(-x)^n =sumn=0^inftycn(-1)^nx^n
Pela paridade, isso deve ser igual a
f(x)=sumn=0^inftycnx^n
Logo,
sumn=0^inftycn(-1)^nx^n = sumn=0^inftycnx^n

Passo 3

Como duas séries de potências que coincidem em um intervalo implicam igualdade de cada coeficiente, para todo n vale
(-1)^ncn=cn Longrightarrow l((-1)^n-1r)cn=0
Se n é ímpar, (-1)^n-1=-2neq0, então obrigatoriamente cn=0. Como números ímpares são da forma 2k-1, segue
c2k-1=0, k=1,2,3,dots
Agora sobra só termos de ordem par na série.

Passo 4

Se em vez de par a função fosse ímpar, teríamos
f(-x)=-f(x),
ou seja,
sumn=0^inftycn(-1)^nx^n = -sumn=0^inftycnx^n
que leva a
(-1)^ncn=-cn Longrightarrow l((-1)^n+1r)cn=0
Agora, se n é par, (-1)^n+1=2neq0, logo cn=0 para todo n par.

Resposta

Para função par:
c2n-1=0, forall n>=1
Para função ímpar:
c2n=0, forall n>=0

Exercícios relacionados