Questão 4 (3,0 pontos)
Resolva o problema de Dirichlet no setor circular:
& ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0, em D: r<1,0<theta<pi4 & u(r, 0)=0, u(r, pi4)=0 & u(1, theta)=f(theta)
Sabendo que o problema de contorno
phi^prime prime(theta)+lambda phi(theta)=0 phi(0)=0, phi(L)=0
admite soluções não triviais somente para os seguintes valores:
lambdan=n^2 pi^2L^2, para n=1,2,3 ldots
e as soluções correspondentes são
phin(theta)=sen(n piL theta)

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares num setor D=(r,theta)mid 0<r<1,;0<theta<pi/4 com condições de contorno
u(r,0)=0, ul(r,tfracpi4r)=0, u(1,theta)=f(theta)
O método que vamos usar é separação de variáveis: buscamos soluções da forma
u(r,theta)=R(r),Theta(theta),
determinamos os autovalores e autovetores na direção theta e, em seguida, obtemos a parte radial e expandimos f(theta) numa série de senos adequados.

Passo 2

Substituindo u(r,theta)=R(r),Theta(theta) na equação
urr+1r,ur+1r^2uthetatheta=0
obtemos
R''(r),Theta(theta)+1r,R'(r),Theta(theta) +1r^2,R(r),Theta''(theta)=0
Dividindo por R(r),Theta(theta) e multiplicando por r^2 resulta
r^2R''R+rR'R+Theta''Theta=0 Longrightarrow r^2R''R+rR'R=-Theta''Theta=lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

Isso gera dois problemas ordinários:
no ângulo,
Theta''(theta)+lambda,Theta(theta)=0, Theta(0)=0,;Thetal(tfracpi4r)=0,
e no raio,
r^2R''(r)+rR'(r)-lambda,R(r)=0

Passo 4

Do problema angular, sabemos que existem soluções não triviais apenas para
lambdan=l(tfracnpiLr)^2, L=tfracpi4, n=1,2,3,dots,
ou seja lambdan=16,n^2, e os autovetores são
Thetan(theta)=sin!l(tfracnpiL,thetar) =sin(4ntheta)

Passo 5

Para cada lambdan o raio satisfaz
r^2Rn''+rRn'-16,n^2,Rn=0,
que é equidimensional com raízes s=pm4n. A solução regular em r=0 é
Rn(r)=r^4n
Assim a solução geral do problema é
u(r,theta) =sumn=1^infty An,r^4n,sin(4ntheta)

Passo 6

Impondo u(1,theta)=f(theta) temos a expansão de Fourier-seno
f(theta)=sumn=1^infty An,sin(4ntheta)
Usando a ortogonalidade
integral0^pi/4sin(4ntheta),sin(4mtheta),dtheta =pi8,de<anm,
multiplicamos ambos os lados por sin(4mtheta) e integramos de 0 a pi/4, obtendo
Am=8piintegral0^pi/4f(theta),sin(4mtheta),dtheta

Resposta

boxed u(r,theta) =sumn=1^infty gl[ 8pi integral0^pi/4f(alpha),sin(4nalpha),dalpha gr] ,r^4n,sin(4ntheta)

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