Questão 4 (3,0 pontos)
Resolva o problema de Dirichlet no setor circular:
Sabendo que o problema de contorno
admite soluções não triviais somente para os seguintes valores:
e as soluções correspondentes são
Resolva o problema de Dirichlet no setor circular:
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares num setor
com condições de contorno
O método que vamos usar é separação de variáveis: buscamos soluções da forma
determinamos os autovalores e autovetores na direção
e, em seguida, obtemos a parte radial e expandimos
numa série de senos adequados.
Passo 2
Substituindo
na equação
obtemos
Dividindo por
e multiplicando por
resulta
onde
é constante de separação.
Passo 3
Isso gera dois problemas ordinários:
no ângulo,
no ângulo,
e no raio,
Passo 4
Do problema angular, sabemos que existem soluções não triviais apenas para
ou seja
, e os autovetores são
Passo 5
Para cada
o raio satisfaz
que é equidimensional com raízes
. A solução regular em
é
Assim a solução geral do problema é
Passo 6
Impondo
temos a expansão de Fourier-seno
Usando a ortogonalidade
multiplicamos ambos os lados por
e integramos de
a
, obtendo