Q. 9. Dada a função f(x)=exp (|2 x-6|x^2-9) podemos afirmar que:
(a) lim x 3 f(x)=raiz[3]e;
(b) lim x 3 f(x)=1raiz[3]e;
(c) lim x 3 f(x)=13;
(d) nexists lim x 3 f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=exp!l(tfrac|2x-6|x^2-9r)
e pede limxto3f(x). Aqui vamos usar fatoração de diferenças, propriedade do valor absoluto e limites laterais, pois no denominador há zero em x=3.

Passo 2

Para xneq3 escrevemos
|2x-6| = 2|x-3|e x^2-9=(x-3)(x+3),
logo
|2x-6|x^2-9 =2|x-3|(x-3)(x+3) =2,|x-3|x-3,1x+3
E sabemos que
|x-3|x-3 = 1,&x>3, -1,&x<3

Passo 3

Limite pela direita ( xto3^+): nesse caso |x-3|/(x-3)=1 e x+3to6, então
|2x-6|x^2-9to 2cdot16=tfrac13 Longrightarrow f(x)=exp!l(tfrac|2x-6|x^2-9r)to e^1/3=raiz[3]e

Passo 4

Limite pela esquerda ( xto3^-): agora |x-3|/(x-3)=-1 e x+3to6, logo
|2x-6|x^2-9to 2cdot(-1)6=-tfrac13 Longrightarrow f(x)to e^-1/3=1raiz[3]e

Passo 5

Como limxto3^+f(x)=raiz[3]eneqlimxto3^-f(x)=1/raiz[3]e, o limite de f(x) em x=3 não existe.

Resposta

(d)

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