6.Show that a set
is open if and only if each point in
is an interior point.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um conjunto
é aberto se, e somente se, todo ponto de
for ponto interior.
Conteúdo: definimos
– Um conjunto é aberto quando, para todo
, existe
tal que a bola aberta
Conteúdo: definimos
– Um conjunto
está contida em
.
– Um ponto é interior a
quando existe
com
.
– Um ponto
Passo 2
Prova da
: suponha que
é aberto. Então, pela definição de aberto, para cada
existe
tal que
Isto significa exatamente que
é um ponto interior de
. Como
era um ponto arbitrário de
, concluímos que todo ponto de
é interior.
Passo 3
Prova da
: suponha que cada
é ponto interior. Então para cada
há algum
com
Logo
ou seja,
é união (possivelmente infinita) de bolas abertas. Como toda bola aberta é um conjunto aberto e a união arbitrária de abertos é aberta, segue que
é aberto.
Resposta
Mostramos as duas implicações, logo
é aberto se, e somente se, cada ponto de
é ponto interior.