6.Show that a set S is open if and only if each point in S is an interior point.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um conjunto S\subseteq\mathbb{R}^n é aberto se, e somente se, todo ponto de S for ponto interior.
Conteúdo: definimos
– Um conjunto S é aberto quando, para todo x\in S, existe \varepsilon>0 tal que a bola aberta
B(x,\varepsilon)=\{y\in\mathbb{R}^n\mid \|y-x\|<\varepsilon\}
está contida em S.
– Um ponto x\in S é interior a S quando existe \varepsilon>0 com B(x,\varepsilon)\subseteq S.

Passo 2

Prova da \Rightarrow: suponha que S é aberto. Então, pela definição de aberto, para cada x\in S existe \varepsilon>0 tal que
B(x,\varepsilon)\subseteq S.
Isto significa exatamente que x é um ponto interior de S. Como x era um ponto arbitrário de S, concluímos que todo ponto de S é interior.

Passo 3

Prova da \Leftarrow: suponha que cada x\in S é ponto interior. Então para cada x\in S há algum \varepsilon_x>0 com
B(x,\varepsilon_x)\subseteq S.
Logo
S \;=\;\bigcup_{x\in S}B(x,\varepsilon_x),
ou seja, S é união (possivelmente infinita) de bolas abertas. Como toda bola aberta é um conjunto aberto e a união arbitrária de abertos é aberta, segue que S é aberto.

Resposta

Mostramos as duas implicações, logo S é aberto se, e somente se, cada ponto de S é ponto interior.

Exercícios relacionados