(2.0 pontos) Determine \operatorname{Arg}(z) e \arg (z) quando
z=-\sqrt{2}-\sqrt{2} i .
Além disso, escreva uma forma exponencial para z.

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo
z = -\sqrt{2} - \sqrt{2}\,i
e pede o argumento principal \Arg(z), o conjunto de todos os argumentos \arg(z) e a forma exponencial de z. Vamos usar as fórmulas
\;|z| = \sqrt{x^2 + y^2}; e; \arg(z)=\theta com \theta=\arctan\frac{y}{x} ajustado ao quadrante de (x,y).

Passo 2

Identificamos as coordenadas (x,y)=(-\sqrt{2},- \sqrt{2}). O módulo de z é
|z| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = 2.

Passo 3

O ângulo de referência é
\alpha = \arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.
Como x<0 e y<0, z está no terceiro quadrante, cujo ângulo em [0,2\pi) vale
\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.
Para obter o argumento principal em (-\,\pi,\pi], subtraímos 2\pi, ficando
\Arg(z) = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\,\frac{3\pi}{4}.

Passo 4

O conjunto de todos os argumentos é
\arg(z) = \{\Arg(z) + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\} = \Bigl\{-\tfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\Bigr\}.

Passo 5

A forma exponencial de z usa o módulo e o argumento principal:
z = |z|\,e^{\,i\,\Arg(z)} = 2\,e^{-\,\tfrac{3\pi i}{4}}.

Resposta

\Arg(z) = -\tfrac{3\pi}{4} \arg(z) = -\tfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\;k\in\mathbb{Z} z = 2e^{-\,3\pi i/4}

Exercícios relacionados