Considere o campo
. Calcule
, onde
é o cilindro
e
a sua normal exterior. R.
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é a superfície fechada que consiste no cilindro lateral
para
mais as tampas em
e
. Vamos usar o Teorema da Divergência para transformar esse fluxo em um integral de volume.
Passo 2
O Teorema da Divergência afirma que, se
é o sólido do cilindro e
a sua superfície orientada para fora, então
Logo precisamos calcular
e integrar sobre o volume do cilindro.
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
Passamos para coordenadas cilíndricas:
com
. Assim
Note que
pois
.
Passo 5
Fica
Calculemos
Logo