Considere o campo F=\left(4 x,-2 y^{2}, z^{2}\right). Calcule \int_{S}\langle F, n\rangle, onde C é o cilindro C= \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}=4,0 \leqslant z \leqslant 3\right\} e n a sua normal exterior. R. 84 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\langle F,n\rangle\,dS
onde F(x,y,z)=(4x,\,-2y^{2},\,z^{2}) e S é a superfície fechada que consiste no cilindro lateral x^{2}+y^{2}=4 para 0\le z\le3 mais as tampas em z=0 e z=3. Vamos usar o Teorema da Divergência para transformar esse fluxo em um integral de volume.

Passo 2

O Teorema da Divergência afirma que, se V é o sólido do cilindro e \partial V=S a sua superfície orientada para fora, então
\iint_{S}\langle F,n\rangle\,dS =\iiint_{V}\mathrm{div}\,F\,dV.
Logo precisamos calcular \mathrm{div}\,F e integrar sobre o volume do cilindro.

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
\mathrm{div}\,F =\frac{\partial}{\partial x}(4x) +\frac{\partial}{\partial y}(-2y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =4-4y+2z.

Passo 4

Passamos para coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad 0\le r\le2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le3,
com dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Assim
\iiint_{V}(4-4y+2z)\,dV =\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} \bigl(4-4r\sin\theta+2z\bigr)\,r\,dr\,d\theta\,dz.
Note que \displaystyle\int_{0}^{2\pi}(-4r\sin\theta)\,r\,d\theta=0 pois \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.

Passo 5

Fica
\iiint_{V}(4-4y+2z)\,dV = \int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}(4+2z)\,r\,dr\,d\theta\,dz = \int_{0}^{3}\! \biggl[\;2\pi\int_{0}^{2}(4+2z)\,r\,dr\biggr]dz.
Calculemos
\int_{0}^{2}(4+2z)\,r\,dr =4\int_{0}^{2}r\,dr \;+\;2z\int_{0}^{2}r\,dr =4\cdot\frac{2^{2}}{2}+2z\cdot\frac{2^{2}}{2} =4\cdot2+2z\cdot2 =8+4z.
Logo
\iiint_{V}\mathrm{div}\,F\,dV =2\pi\int_{0}^{3}(8+4z)\,dz =2\pi\Bigl[8z+2z^{2}\Bigr]_{0}^{3} =2\pi(24+18) =2\pi\cdot42 =84\pi.

Resposta

84\pi

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