Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr).
O conteúdo aqui é reconhecer que cada termo pode ser reescrito de forma telescópica, e em seguida avaliar o comportamento da soma parcial.

Passo 2

Usamos a identidade
\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr) =\ln(n+1)-\ln n.
Assim, a soma parcial até N é
S_N=\sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln(n+1)-\ln n\bigr] =(\ln 2-\ln1)+(\ln3-\ln2)+\cdots+(\ln(N+1)-\ln N) =\ln(N+1).
Como \ln(N+1)\to\infty quando N\to\infty, a série não tende a um valor finito.

Resposta

A série diverge.

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